---

Step * 2 of Lemma alpha-rename-equivalent


1. [opr] : Type
2. ∀t:term(opr). ∀bnds:varname() List. ∀f:{v:varname()| (v ∈ bnds @ all-vars(t))}  ⟶ varname().
     (map(f;bnds) ∈ varname() List)
3. bts : bound-term(opr) List
4. ∀bt:bound-term(opr)
     ((bt ∈ bts)
     ⇒ (∀bnds:varname() List. ∀f:{v:varname()| (v ∈ bnds @ all-vars(snd(bt)))}  ⟶ varname().
           alpha-aux(opr;map(f;bnds);bnds;alpha-rename-aux(f;bnds;snd(bt));snd(bt)) 
           supposing ((∀x:{v:varname()| (v ∈ bnds @ all-vars(snd(bt)))} 
                         ((f x ∈ free-vars-aux(bnds;snd(bt))) ⇒ ((f x) = x ∈ varname())))
           ∧ (∀x:{v:varname()| (v ∈ bnds @ all-vars(snd(bt)))} 
                (((f x) = nullvar() ∈ varname()) ⇒ (x = nullvar() ∈ varname()))))
           ∧ Inj({v:varname()| (v ∈ bnds @ all-vars(snd(bt)))} ;varname();f)))
5. f : opr
6. bnds : varname() List
7. f@0 : {v:varname()| (v ∈ bnds @ all-vars(mkterm(f;bts)))}  ⟶ varname()
8. [%2] : ((∀x:{v:varname()| (v ∈ bnds @ all-vars(mkterm(f;bts)))} 
              ((f@0 x ∈ free-vars-aux(bnds;mkterm(f;bts))) ⇒ ((f@0 x) = x ∈ varname())))
∧ (∀x:{v:varname()| (v ∈ bnds @ all-vars(mkterm(f;bts)))} 
     (((f@0 x) = nullvar() ∈ varname()) ⇒ (x = nullvar() ∈ varname()))))
∧ Inj({v:varname()| (v ∈ bnds @ all-vars(mkterm(f;bts)))} ;varname();f@0)
⊢ alpha-aux(opr;map(f@0;bnds);bnds;alpha-rename-aux(f@0;bnds;mkterm(f;bts));mkterm(f;bts))
BY
{ ((Assert bnds ∈ {v:varname()| (v ∈ bnds)}  List BY Auto) THEN Unfold `alpha-rename-aux` 0 THEN Reduce 0) }

1
1. [opr] : Type
2. ∀t:term(opr). ∀bnds:varname() List. ∀f:{v:varname()| (v ∈ bnds @ all-vars(t))}  ⟶ varname().
     (map(f;bnds) ∈ varname() List)
3. bts : bound-term(opr) List
4. ∀bt:bound-term(opr)
     ((bt ∈ bts)
     ⇒ (∀bnds:varname() List. ∀f:{v:varname()| (v ∈ bnds @ all-vars(snd(bt)))}  ⟶ varname().
           alpha-aux(opr;map(f;bnds);bnds;alpha-rename-aux(f;bnds;snd(bt));snd(bt)) 
           supposing ((∀x:{v:varname()| (v ∈ bnds @ all-vars(snd(bt)))} 
                         ((f x ∈ free-vars-aux(bnds;snd(bt))) ⇒ ((f x) = x ∈ varname())))
           ∧ (∀x:{v:varname()| (v ∈ bnds @ all-vars(snd(bt)))} 
                (((f x) = nullvar() ∈ varname()) ⇒ (x = nullvar() ∈ varname()))))
           ∧ Inj({v:varname()| (v ∈ bnds @ all-vars(snd(bt)))} ;varname();f)))
5. f : opr
6. bnds : varname() List
7. f@0 : {v:varname()| (v ∈ bnds @ all-vars(mkterm(f;bts)))}  ⟶ varname()
8. [%2] : ((∀x:{v:varname()| (v ∈ bnds @ all-vars(mkterm(f;bts)))} 
              ((f@0 x ∈ free-vars-aux(bnds;mkterm(f;bts))) ⇒ ((f@0 x) = x ∈ varname())))
∧ (∀x:{v:varname()| (v ∈ bnds @ all-vars(mkterm(f;bts)))} 
     (((f@0 x) = nullvar() ∈ varname()) ⇒ (x = nullvar() ∈ varname()))))
∧ Inj({v:varname()| (v ∈ bnds @ all-vars(mkterm(f;bts)))} ;varname();f@0)
9. bnds ∈ {v:varname()| (v ∈ bnds)}  List
⊢ alpha-aux(opr;map(f@0;bnds);bnds;eval bts' = eager-map(λbt.let vs,a = bt 
                                                             in <map(f@0;vs)
                                                                , alpha-rename-aux(f@0;rev(vs) + bnds;a)
                                                                >;bts) in
                                   mkterm(f;bts');mkterm(f;bts))

---

Latex:

---

Latex:

1.  [opr]  :  Type
2.  \mforall{}t:term(opr).  \mforall{}bnds:varname()  List.  \mforall{}f:\{v:varname()|  (v  \mmember{}  bnds  @  all-vars(t))\}    {}\mrightarrow{}  varname().
          (map(f;bnds)  \mmember{}  varname()  List)
3.  bts  :  bound-term(opr)  List
4.  \mforall{}bt:bound-term(opr)
          ((bt  \mmember{}  bts)
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}bnds:varname()  List.  \mforall{}f:\{v:varname()|  (v  \mmember{}  bnds  @  all-vars(snd(bt)))\}    {}\mrightarrow{}  varname().
                      alpha-aux(opr;map(f;bnds);bnds;alpha-rename-aux(f;bnds;snd(bt));snd(bt)) 
                      supposing  ((\mforall{}x:\{v:varname()|  (v  \mmember{}  bnds  @  all-vars(snd(bt)))\} 
                                                  ((f  x  \mmember{}  free-vars-aux(bnds;snd(bt)))  {}\mRightarrow{}  ((f  x)  =  x)))
                      \mwedge{}  (\mforall{}x:\{v:varname()|  (v  \mmember{}  bnds  @  all-vars(snd(bt)))\} 
                                (((f  x)  =  nullvar())  {}\mRightarrow{}  (x  =  nullvar()))))
                      \mwedge{}  Inj(\{v:varname()|  (v  \mmember{}  bnds  @  all-vars(snd(bt)))\}  ;varname();f)))
5.  f  :  opr
6.  bnds  :  varname()  List
7.  f@0  :  \{v:varname()|  (v  \mmember{}  bnds  @  all-vars(mkterm(f;bts)))\}    {}\mrightarrow{}  varname()
8.  [\%2]  :  ((\mforall{}x:\{v:varname()|  (v  \mmember{}  bnds  @  all-vars(mkterm(f;bts)))\} 
                            ((f@0  x  \mmember{}  free-vars-aux(bnds;mkterm(f;bts)))  {}\mRightarrow{}  ((f@0  x)  =  x)))
\mwedge{}  (\mforall{}x:\{v:varname()|  (v  \mmember{}  bnds  @  all-vars(mkterm(f;bts)))\} 
          (((f@0  x)  =  nullvar())  {}\mRightarrow{}  (x  =  nullvar()))))
\mwedge{}  Inj(\{v:varname()|  (v  \mmember{}  bnds  @  all-vars(mkterm(f;bts)))\}  ;varname();f@0)
\mvdash{}  alpha-aux(opr;map(f@0;bnds);bnds;alpha-rename-aux(f@0;bnds;mkterm(f;bts));mkterm(f;bts))


By

---

Latex:
((Assert  bnds  \mmember{}  \{v:varname()|  (v  \mmember{}  bnds)\}    List  BY  Auto)  THEN  Unfold  `alpha-rename-aux`  0  THEN  Reduc\000Ce  0)

---

Home Index