---

Step * 1 of Lemma bag-summation-linear-right


1. T : Type
2. R : Type
3. add : R ⟶ R ⟶ R
4. mul : R ⟶ R ⟶ R
5. zero : R
6. f : T ⟶ R
7. g : T ⟶ R
8. minus : R ⟶ R
9. IsGroup(R;add;zero;minus)
10. Comm(R;add)
11. BiLinear(R;add;mul)
12. a : R
13. L : T List
⊢ Σ(x∈L). (f[x] add g[x]) mul a = ((Σ(x∈L). f[x] add Σ(x∈L). g[x]) mul a) ∈ R
BY
{ (RepUR ``bag-summation bag-accum`` 0
   THEN Assert ⌜∀x,y,z:R.
                  ((z = mul[add[x;y];a] ∈ R)
                  ⇒ (accumulate (with value c and list item x):
                       add mul[add[f[x];g[x]];a] c
                      over list:
                        L
                      with starting value:
                       z)
                     = mul[add[accumulate (with value c and list item x):
                                add f[x] c
                               over list:
                                 L
                               with starting value:
                                x);accumulate (with value c and list item x):
                                    add g[x] c
                                   over list:
                                     L
                                   with starting value:
                                    y)];a]
                     ∈ R))⌝⋅
   ) }

1
.....assertion..... 
1. T : Type
2. R : Type
3. add : R ⟶ R ⟶ R
4. mul : R ⟶ R ⟶ R
5. zero : R
6. f : T ⟶ R
7. g : T ⟶ R
8. minus : R ⟶ R
9. IsGroup(R;add;zero;minus)
10. Comm(R;add)
11. BiLinear(R;add;mul)
12. a : R
13. L : T List
⊢ ∀x,y,z:R.
    ((z = mul[add[x;y];a] ∈ R)
    ⇒ (accumulate (with value c and list item x):
         add mul[add[f[x];g[x]];a] c
        over list:
          L
        with starting value:
         z)
       = mul[add[accumulate (with value c and list item x):
                  add f[x] c
                 over list:
                   L
                 with starting value:
                  x);accumulate (with value c and list item x):
                      add g[x] c
                     over list:
                       L
                     with starting value:
                      y)];a]
       ∈ R))

2
1. T : Type
2. R : Type
3. add : R ⟶ R ⟶ R
4. mul : R ⟶ R ⟶ R
5. zero : R
6. f : T ⟶ R
7. g : T ⟶ R
8. minus : R ⟶ R
9. IsGroup(R;add;zero;minus)
10. Comm(R;add)
11. BiLinear(R;add;mul)
12. a : R
13. L : T List
14. ∀x,y,z:R.
      ((z = mul[add[x;y];a] ∈ R)
      ⇒ (accumulate (with value c and list item x):
           add mul[add[f[x];g[x]];a] c
          over list:
            L
          with starting value:
           z)
         = mul[add[accumulate (with value c and list item x):
                    add f[x] c
                   over list:
                     L
                   with starting value:
                    x);accumulate (with value c and list item x):
                        add g[x] c
                       over list:
                         L
                       with starting value:
                        y)];a]
         ∈ R))
⊢ accumulate (with value c and list item x):
   add ((f[x] add g[x]) mul a) c
  over list:
    L
  with starting value:
   zero)
= ((accumulate (with value c and list item x):
     add f[x] c
    over list:
      L
    with starting value:
     zero) 
    add 
    accumulate (with value c and list item x):
     add g[x] c
    over list:
      L
    with starting value:
     zero)) 
   mul 
   a)
∈ R

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  R  :  Type
3.  add  :  R  {}\mrightarrow{}  R  {}\mrightarrow{}  R
4.  mul  :  R  {}\mrightarrow{}  R  {}\mrightarrow{}  R
5.  zero  :  R
6.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  R
7.  g  :  T  {}\mrightarrow{}  R
8.  minus  :  R  {}\mrightarrow{}  R
9.  IsGroup(R;add;zero;minus)
10.  Comm(R;add)
11.  BiLinear(R;add;mul)
12.  a  :  R
13.  L  :  T  List
\mvdash{}  \mSigma{}(x\mmember{}L).  (f[x]  add  g[x])  mul  a  =  ((\mSigma{}(x\mmember{}L).  f[x]  add  \mSigma{}(x\mmember{}L).  g[x])  mul  a)


By

---

Latex:
(RepUR  ``bag-summation  bag-accum``  0
  THEN  Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}x,y,z:R.
                                ((z  =  mul[add[x;y];a])
                                {}\mRightarrow{}  (accumulate  (with  value  c  and  list  item  x):
                                          add  mul[add[f[x];g[x]];a]  c
                                        over  list:
                                            L
                                        with  starting  value:
                                          z)
                                      =  mul[add[accumulate  (with  value  c  and  list  item  x):
                                                            add  f[x]  c
                                                          over  list:
                                                              L
                                                          with  starting  value:
                                                            x);accumulate  (with  value  c  and  list  item  x):
                                                                    add  g[x]  c
                                                                  over  list:
                                                                      L
                                                                  with  starting  value:
                                                                    y)];a]))\mkleeneclose{}\mcdot{}
  )

---

Home Index