---

Step * 2 2 2 of Lemma bag-summation-product


1. r : Rng
2. Assoc(|r|;+r)
3. Comm(|r|;+r)
4. A : Type
5. B : Type
6. f : A ⟶ |r|
7. c : bag(B)
8. g : B ⟶ |r|
9. u : A
10. v : A List
11. (Σ(x∈v). f[x] * Σ(y∈c). g[y]) = Σ(p∈v × c). f[fst(p)] * g[snd(p)] ∈ |r|
12. IsMonoid(|r|;+r;0)
13. Σ(x∈v). f[x] ∈ |r|
⊢ (Σ(x∈{u} + v). f[x] * Σ(y∈c). g[y]) = Σ(p∈{u} + v × c). f[fst(p)] * g[snd(p)] ∈ |r|
BY
{ ((RWW "bag-product-append bag-product-single" 0 THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜bag-map(λx.<u, x>;c) = X ∈ bag(A × B)⌝⋅ THENA Auto)
   )⋅ }

1
1. r : Rng
2. Assoc(|r|;+r)
3. Comm(|r|;+r)
4. A : Type
5. B : Type
6. f : A ⟶ |r|
7. c : bag(B)
8. g : B ⟶ |r|
9. u : A
10. v : A List
11. (Σ(x∈v). f[x] * Σ(y∈c). g[y]) = Σ(p∈v × c). f[fst(p)] * g[snd(p)] ∈ |r|
12. IsMonoid(|r|;+r;0)
13. Σ(x∈v). f[x] ∈ |r|
14. X : bag(A × B)
15. bag-map(λx.<u, x>;c) = X ∈ bag(A × B)
⊢ (Σ(x∈{u} + v). f[x] * Σ(y∈c). g[y]) = Σ(p∈X + v × c). f[fst(p)] * g[snd(p)] ∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  Rng
2.  Assoc(|r|;+r)
3.  Comm(|r|;+r)
4.  A  :  Type
5.  B  :  Type
6.  f  :  A  {}\mrightarrow{}  |r|
7.  c  :  bag(B)
8.  g  :  B  {}\mrightarrow{}  |r|
9.  u  :  A
10.  v  :  A  List
11.  (\mSigma{}(x\mmember{}v).  f[x]  *  \mSigma{}(y\mmember{}c).  g[y])  =  \mSigma{}(p\mmember{}v  \mtimes{}  c).  f[fst(p)]  *  g[snd(p)]
12.  IsMonoid(|r|;+r;0)
13.  \mSigma{}(x\mmember{}v).  f[x]  \mmember{}  |r|
\mvdash{}  (\mSigma{}(x\mmember{}\{u\}  +  v).  f[x]  *  \mSigma{}(y\mmember{}c).  g[y])  =  \mSigma{}(p\mmember{}\{u\}  +  v  \mtimes{}  c).  f[fst(p)]  *  g[snd(p)]


By

---

Latex:
((RWW  "bag-product-append  bag-product-single"  0  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}bag-map(\mlambda{}x.<u,  x>c)  =  X\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  )\mcdot{}

---

Home Index