---

Step * 2 1 1 of Lemma bag-partitions-cons


1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. x : X
5. b : bag(X)
6. x2 : bag(X)
7. x3 : bag(X)
8. (x2 + x3) = x.b ∈ bag(X)
9. ∀x:bag(X) × bag(X). ∀as,bs:bag(bag(X) × bag(X)).  (x ↓∈ as + bs ⇐⇒ x ↓∈ as ↓∨ x ↓∈ bs)
10. ∀x:bag(X) × bag(X). ∀f:(bag(X) × bag(X)) ⟶ (bag(X) × bag(X)). ∀bs:bag(bag(X) × bag(X)).
      uiff(x ↓∈ bag-map(f;bs);↓∃v:bag(X) × bag(X). (v ↓∈ bs ∧ (x = (f v) ∈ (bag(X) × bag(X)))))
⊢ (↓∃v:bag(X) × bag(X)
     ((v ↓∈ bag-partitions(eq;b) ∧ (↑((#x in snd(v)) =z 0))) ∧ (<x2, x3> = <x.fst(v), snd(v)> ∈ (bag(X) × bag(X)))))
↓∨ (↓∃v:bag(X) × bag(X). (v ↓∈ bag-partitions(eq;b) ∧ (<x2, x3> = <fst(v), x.snd(v)> ∈ (bag(X) × bag(X)))))
BY
{ (Decide ⌜(#x in x3) = 0 ∈ ℤ⌝⋅ THENA Auto) }

1
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. x : X
5. b : bag(X)
6. x2 : bag(X)
7. x3 : bag(X)
8. (x2 + x3) = x.b ∈ bag(X)
9. ∀x:bag(X) × bag(X). ∀as,bs:bag(bag(X) × bag(X)).  (x ↓∈ as + bs ⇐⇒ x ↓∈ as ↓∨ x ↓∈ bs)
10. ∀x:bag(X) × bag(X). ∀f:(bag(X) × bag(X)) ⟶ (bag(X) × bag(X)). ∀bs:bag(bag(X) × bag(X)).
      uiff(x ↓∈ bag-map(f;bs);↓∃v:bag(X) × bag(X). (v ↓∈ bs ∧ (x = (f v) ∈ (bag(X) × bag(X)))))
11. (#x in x3) = 0 ∈ ℤ
⊢ (↓∃v:bag(X) × bag(X)
     ((v ↓∈ bag-partitions(eq;b) ∧ (↑((#x in snd(v)) =z 0))) ∧ (<x2, x3> = <x.fst(v), snd(v)> ∈ (bag(X) × bag(X)))))
↓∨ (↓∃v:bag(X) × bag(X). (v ↓∈ bag-partitions(eq;b) ∧ (<x2, x3> = <fst(v), x.snd(v)> ∈ (bag(X) × bag(X)))))

2
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. x : X
5. b : bag(X)
6. x2 : bag(X)
7. x3 : bag(X)
8. (x2 + x3) = x.b ∈ bag(X)
9. ∀x:bag(X) × bag(X). ∀as,bs:bag(bag(X) × bag(X)).  (x ↓∈ as + bs ⇐⇒ x ↓∈ as ↓∨ x ↓∈ bs)
10. ∀x:bag(X) × bag(X). ∀f:(bag(X) × bag(X)) ⟶ (bag(X) × bag(X)). ∀bs:bag(bag(X) × bag(X)).
      uiff(x ↓∈ bag-map(f;bs);↓∃v:bag(X) × bag(X). (v ↓∈ bs ∧ (x = (f v) ∈ (bag(X) × bag(X)))))
11. ¬((#x in x3) = 0 ∈ ℤ)
⊢ (↓∃v:bag(X) × bag(X)
     ((v ↓∈ bag-partitions(eq;b) ∧ (↑((#x in snd(v)) =z 0))) ∧ (<x2, x3> = <x.fst(v), snd(v)> ∈ (bag(X) × bag(X)))))
↓∨ (↓∃v:bag(X) × bag(X). (v ↓∈ bag-partitions(eq;b) ∧ (<x2, x3> = <fst(v), x.snd(v)> ∈ (bag(X) × bag(X)))))

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  valueall-type(X)
3.  eq  :  EqDecider(X)
4.  x  :  X
5.  b  :  bag(X)
6.  x2  :  bag(X)
7.  x3  :  bag(X)
8.  (x2  +  x3)  =  x.b
9.  \mforall{}x:bag(X)  \mtimes{}  bag(X).  \mforall{}as,bs:bag(bag(X)  \mtimes{}  bag(X)).    (x  \mdownarrow{}\mmember{}  as  +  bs  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  x  \mdownarrow{}\mmember{}  as  \mdownarrow{}\mvee{}  x  \mdownarrow{}\mmember{}  bs)
10.  \mforall{}x:bag(X)  \mtimes{}  bag(X).  \mforall{}f:(bag(X)  \mtimes{}  bag(X))  {}\mrightarrow{}  (bag(X)  \mtimes{}  bag(X)).  \mforall{}bs:bag(bag(X)  \mtimes{}  bag(X)).
            uiff(x  \mdownarrow{}\mmember{}  bag-map(f;bs);\mdownarrow{}\mexists{}v:bag(X)  \mtimes{}  bag(X).  (v  \mdownarrow{}\mmember{}  bs  \mwedge{}  (x  =  (f  v))))
\mvdash{}  (\mdownarrow{}\mexists{}v:bag(X)  \mtimes{}  bag(X)
          ((v  \mdownarrow{}\mmember{}  bag-partitions(eq;b)  \mwedge{}  (\muparrow{}((\#x  in  snd(v))  =\msubz{}  0)))  \mwedge{}  (<x2,  x3>  =  <x.fst(v),  snd(v)>)))
\mdownarrow{}\mvee{}  (\mdownarrow{}\mexists{}v:bag(X)  \mtimes{}  bag(X).  (v  \mdownarrow{}\mmember{}  bag-partitions(eq;b)  \mwedge{}  (<x2,  x3>  =  <fst(v),  x.snd(v)>)))


By

---

Latex:
(Decide  \mkleeneopen{}(\#x  in  x3)  =  0\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)

---

Home Index