---

Step * 2 of Lemma factorit_wf


1. ∀[d:ℕ]. ∀[x:ℕ+]. ∀[b:ℕ].
     (x - b * b < d
     ⇒ (2 ≤ b)
     ⇒ (∀[tried:{L:{p:ℕ| prime(p) ∧ p < b}  List| ∀p:{p:ℕ| prime(p)} . (p < b ⇒ ((p ∈ L) ∧ (¬(p | x))))} ].
         ∀[facs:{p:ℕ| prime(p)}  List].
           (factorit(x;b;tried;facs) ∈ {L:{p:ℕ| prime(p)}  List| 
                                        reduce(λp,q. (p * q);1;L) = (x * reduce(λp,q. (p * q);1;facs)) ∈ ℤ} )))
⊢ ∀[x:ℕ+]. ∀[b:ℕ].
    ∀[tried:{L:{p:ℕ| prime(p) ∧ p < b}  List| ∀p:{p:ℕ| prime(p)} . (p < b ⇒ ((p ∈ L) ∧ (¬(p | x))))} ].
    ∀[facs:{p:ℕ| prime(p)}  List].
      (factorit(x;b;tried;facs) ∈ {L:{p:ℕ| prime(p)}  List| reduce(λp,q. (p * q);1;L) = (x * reduce(λp,q. (p * q);1;facs\000C)) ∈ ℤ} ) 
    supposing 2 ≤ b
BY
{ (RepeatFor 3 ((D 0 THENA Auto)) THEN (Decide x < b * b THENA Auto)) }

1
1. ∀[d:ℕ]. ∀[x:ℕ+]. ∀[b:ℕ].
     (x - b * b < d
     ⇒ (2 ≤ b)
     ⇒ (∀[tried:{L:{p:ℕ| prime(p) ∧ p < b}  List| ∀p:{p:ℕ| prime(p)} . (p < b ⇒ ((p ∈ L) ∧ (¬(p | x))))} ].
         ∀[facs:{p:ℕ| prime(p)}  List].
           (factorit(x;b;tried;facs) ∈ {L:{p:ℕ| prime(p)}  List| 
                                        reduce(λp,q. (p * q);1;L) = (x * reduce(λp,q. (p * q);1;facs)) ∈ ℤ} )))
2. x : ℕ+
3. b : ℕ
4. 2 ≤ b
5. x < b * b
⊢ ∀[tried:{L:{p:ℕ| prime(p) ∧ p < b}  List| ∀p:{p:ℕ| prime(p)} . (p < b ⇒ ((p ∈ L) ∧ (¬(p | x))))} ].
  ∀[facs:{p:ℕ| prime(p)}  List].
    (factorit(x;b;tried;facs) ∈ {L:{p:ℕ| prime(p)}  List| reduce(λp,q. (p * q);1;L) = (x * reduce(λp,q. (p * q);1;facs))\000C ∈ ℤ} )

2
1. ∀[d:ℕ]. ∀[x:ℕ+]. ∀[b:ℕ].
     (x - b * b < d
     ⇒ (2 ≤ b)
     ⇒ (∀[tried:{L:{p:ℕ| prime(p) ∧ p < b}  List| ∀p:{p:ℕ| prime(p)} . (p < b ⇒ ((p ∈ L) ∧ (¬(p | x))))} ].
         ∀[facs:{p:ℕ| prime(p)}  List].
           (factorit(x;b;tried;facs) ∈ {L:{p:ℕ| prime(p)}  List| 
                                        reduce(λp,q. (p * q);1;L) = (x * reduce(λp,q. (p * q);1;facs)) ∈ ℤ} )))
2. x : ℕ+
3. b : ℕ
4. 2 ≤ b
5. ¬x < b * b
⊢ ∀[tried:{L:{p:ℕ| prime(p) ∧ p < b}  List| ∀p:{p:ℕ| prime(p)} . (p < b ⇒ ((p ∈ L) ∧ (¬(p | x))))} ].
  ∀[facs:{p:ℕ| prime(p)}  List].
    (factorit(x;b;tried;facs) ∈ {L:{p:ℕ| prime(p)}  List| reduce(λp,q. (p * q);1;L) = (x * reduce(λp,q. (p * q);1;facs))\000C ∈ ℤ} )

---

Latex:

---

Latex:

1.  \mforall{}[d:\mBbbN{}].  \mforall{}[x:\mBbbN{}\msupplus{}].  \mforall{}[b:\mBbbN{}].
          (x  -  b  *  b  <  d
          {}\mRightarrow{}  (2  \mleq{}  b)
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}[tried:\{L:\{p:\mBbbN{}|  prime(p)  \mwedge{}  p  <  b\}    List| 
                                    \mforall{}p:\{p:\mBbbN{}|  prime(p)\}  .  (p  <  b  {}\mRightarrow{}  ((p  \mmember{}  L)  \mwedge{}  (\mneg{}(p  |  x))))\}  ].
                  \mforall{}[facs:\{p:\mBbbN{}|  prime(p)\}    List].
                      (factorit(x;b;tried;facs)  \mmember{}  \{L:\{p:\mBbbN{}|  prime(p)\}    List| 
                                                                                reduce(\mlambda{}p,q.  (p  *  q);1;L)  =  (x  *  reduce(\mlambda{}p,q.  (p  *  q);1;facs\000C))\}  )))
\mvdash{}  \mforall{}[x:\mBbbN{}\msupplus{}].  \mforall{}[b:\mBbbN{}].
        \mforall{}[tried:\{L:\{p:\mBbbN{}|  prime(p)  \mwedge{}  p  <  b\}    List|  \mforall{}p:\{p:\mBbbN{}|  prime(p)\}  .  (p  <  b  {}\mRightarrow{}  ((p  \mmember{}  L)  \mwedge{}  (\mneg{}(p  |  x))))\000C\}  ].
        \mforall{}[facs:\{p:\mBbbN{}|  prime(p)\}    List].
            (factorit(x;b;tried;facs)  \mmember{}  \{L:\{p:\mBbbN{}|  prime(p)\}    List| 
                                                                      reduce(\mlambda{}p,q.  (p  *  q);1;L)  =  (x  *  reduce(\mlambda{}p,q.  (p  *  q);1;facs))\}  )\000C 
        supposing  2  \mleq{}  b


By

---

Latex:
(RepeatFor  3  ((D  0  THENA  Auto))  THEN  (Decide  x  <  b  *  b  THENA  Auto))

---

Home Index