---

Step * 1 of Lemma general-pigeon-hole


1. n : ℕ
2. m : ℕ
3. k : ℕ
4. f : ℕn ⟶ ℕm
5. ∀L:ℕn List. (no_repeats(ℕn;L) ⇒ (∃i:ℕm. (∀x∈L.f[x] = i ∈ ℕm)) ⇒ (||L|| ≤ k))
6. p : ℕm ⟶ (ℕ List)
7. Σ(||p j|| | j < m) = n ∈ ℤ
8. ∀j:ℕm. ∀x,y:ℕ||p j||.  p j[x] > p j[y] supposing x < y
9. ∀j:ℕm. ∀x:ℕ||p j||.  (p j[x] < n c∧ ((f p j[x]) = j ∈ ℤ))
10. j : ℕm
⊢ ||p j|| ≤ k
BY
{ (∀h:hyp. (InstHyp [⌜j⌝] h⋅ THENA Complete (Auto))  THEN Assert ⌜p j ∈ ℕn List⌝⋅)⋅ }

1
.....assertion..... 
1. n : ℕ
2. m : ℕ
3. k : ℕ
4. f : ℕn ⟶ ℕm
5. ∀L:ℕn List. (no_repeats(ℕn;L) ⇒ (∃i:ℕm. (∀x∈L.f[x] = i ∈ ℕm)) ⇒ (||L|| ≤ k))
6. p : ℕm ⟶ (ℕ List)
7. Σ(||p j|| | j < m) = n ∈ ℤ
8. ∀j:ℕm. ∀x,y:ℕ||p j||.  p j[x] > p j[y] supposing x < y
9. ∀j:ℕm. ∀x:ℕ||p j||.  (p j[x] < n c∧ ((f p j[x]) = j ∈ ℤ))
10. j : ℕm
11. ∀x:ℕ||p j||. (p j[x] < n c∧ ((f p j[x]) = j ∈ ℤ))
12. ∀x,y:ℕ||p j||.  p j[x] > p j[y] supposing x < y
⊢ p j ∈ ℕn List

2
1. n : ℕ
2. m : ℕ
3. k : ℕ
4. f : ℕn ⟶ ℕm
5. ∀L:ℕn List. (no_repeats(ℕn;L) ⇒ (∃i:ℕm. (∀x∈L.f[x] = i ∈ ℕm)) ⇒ (||L|| ≤ k))
6. p : ℕm ⟶ (ℕ List)
7. Σ(||p j|| | j < m) = n ∈ ℤ
8. ∀j:ℕm. ∀x,y:ℕ||p j||.  p j[x] > p j[y] supposing x < y
9. ∀j:ℕm. ∀x:ℕ||p j||.  (p j[x] < n c∧ ((f p j[x]) = j ∈ ℤ))
10. j : ℕm
11. ∀x:ℕ||p j||. (p j[x] < n c∧ ((f p j[x]) = j ∈ ℤ))
12. ∀x,y:ℕ||p j||.  p j[x] > p j[y] supposing x < y
13. p j ∈ ℕn List
⊢ ||p j|| ≤ k

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  m  :  \mBbbN{}
3.  k  :  \mBbbN{}
4.  f  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}m
5.  \mforall{}L:\mBbbN{}n  List.  (no\_repeats(\mBbbN{}n;L)  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}i:\mBbbN{}m.  (\mforall{}x\mmember{}L.f[x]  =  i))  {}\mRightarrow{}  (||L||  \mleq{}  k))
6.  p  :  \mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  (\mBbbN{}  List)
7.  \mSigma{}(||p  j||  |  j  <  m)  =  n
8.  \mforall{}j:\mBbbN{}m.  \mforall{}x,y:\mBbbN{}||p  j||.    p  j[x]  >  p  j[y]  supposing  x  <  y
9.  \mforall{}j:\mBbbN{}m.  \mforall{}x:\mBbbN{}||p  j||.    (p  j[x]  <  n  c\mwedge{}  ((f  p  j[x])  =  j))
10.  j  :  \mBbbN{}m
\mvdash{}  ||p  j||  \mleq{}  k


By

---

Latex:
(\mforall{}h:hyp.  (InstHyp  [\mkleeneopen{}j\mkleeneclose{}]  h\mcdot{}  THENA  Complete  (Auto))    THEN  Assert  \mkleeneopen{}p  j  \mmember{}  \mBbbN{}n  List\mkleeneclose{}\mcdot{})\mcdot{}

---

Home Index