---

Step * 3 of Lemma iseg-as-filter


1. T : Type
2. R : T ⟶ T ⟶ ℙ
3. sa : T List
4. sb : T List
5. Irrefl(T;x,y.R x y)
6. AntiSym(T;x,y.R x y)
7. sa ≤ sb
8. sorted-by(R;sb)
9. ∀x:T. ((x ∈ sa) ⇐⇒ (¬↑null(sa)) ∧ (x ∈ sb) ∧ ((x = last(sa) ∈ T) ∨ (R x last(sa))))
10. Trans(T;a,b.R a b)
11. dR : T ⟶ T ⟶ 𝔹
12. ∀x,y:T.  (↑(dR x y) ⇐⇒ (R x y) ∨ (x = y ∈ T))
13. ¬↑null(sa)
14. ∀[sa,sb:T List].  (sa = sb ∈ (T List)) supposing (sorted-by(R;sa) and sorted-by(R;sb) and set-equal(T;sa;sb))
⊢ sorted-by(R;sa)
BY
{ OnMaybeHyp 7 (\h. (FLemma `iseg-sorted-by` [h;h+1] THEN Complete (Auto)))⋅ }

---

Latex:

---

Latex:

1.  T  :  Type
2.  R  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
3.  sa  :  T  List
4.  sb  :  T  List
5.  Irrefl(T;x,y.R  x  y)
6.  AntiSym(T;x,y.R  x  y)
7.  sa  \mleq{}  sb
8.  sorted-by(R;sb)
9.  \mforall{}x:T.  ((x  \mmember{}  sa)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (\mneg{}\muparrow{}null(sa))  \mwedge{}  (x  \mmember{}  sb)  \mwedge{}  ((x  =  last(sa))  \mvee{}  (R  x  last(sa))))
10.  Trans(T;a,b.R  a  b)
11.  dR  :  T  {}\mrightarrow{}  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
12.  \mforall{}x,y:T.    (\muparrow{}(dR  x  y)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  (R  x  y)  \mvee{}  (x  =  y))
13.  \mneg{}\muparrow{}null(sa)
14.  \mforall{}[sa,sb:T  List].
            (sa  =  sb)  supposing  (sorted-by(R;sa)  and  sorted-by(R;sb)  and  set-equal(T;sa;sb))
\mvdash{}  sorted-by(R;sa)


By

---

Latex:
OnMaybeHyp  7  (\mbackslash{}h.  (FLemma  `iseg-sorted-by`  [h;h+1]  THEN  Complete  (Auto)))\mcdot{}

---

Home Index