---

Step * 2 2 2 of Lemma priority-select-property

.....falsecase..... 
1. [T] : Type
2. u : T
3. v : T List
4. ∀f,g:T ⟶ 𝔹.
     ((priority-select(f;g;v) = (inl tt) ∈ (𝔹?) ⇐⇒ ∃i:ℕ||v||. ((↑(f v[i])) ∧ (∀j:ℕi. (¬↑(g v[j])))))
     ∧ (priority-select(f;g;v) = (inl ff) ∈ (𝔹?) ⇐⇒ ∃i:ℕ||v||. ((↑(g v[i])) ∧ (∀j:ℕi + 1. (¬↑(f v[j])))))
     ∧ (priority-select(f;g;v) = (inr ⋅ ) ∈ (𝔹?) ⇐⇒ ∀i:ℕ||v||. ((¬↑(f v[i])) ∧ (¬↑(g v[i])))))
5. f : T ⟶ 𝔹
6. g : T ⟶ 𝔹
7. ¬↑(f u)
8. ¬↑(g u)
⊢ (accumulate (with value x and list item m):
    if isl(x) then x
    if f m then inl tt
    if g m then inl ff
    else x
    fi 
   over list:
     v
   with starting value:
    inr ⋅ )
   = (inl tt)
   ∈ (𝔹?)
  ⇐⇒ ∃i:ℕ||v|| + 1. ((↑(f [u / v][i])) ∧ (∀j:ℕi. (¬↑(g [u / v][j])))))
∧ (accumulate (with value x and list item m):
    if isl(x) then x
    if f m then inl tt
    if g m then inl ff
    else x
    fi 
   over list:
     v
   with starting value:
    inr ⋅ )
   = (inl ff)
   ∈ (𝔹?)
  ⇐⇒ ∃i:ℕ||v|| + 1. ((↑(g [u / v][i])) ∧ (∀j:ℕi + 1. (¬↑(f [u / v][j])))))
∧ (accumulate (with value x and list item m):
    if isl(x) then x
    if f m then inl tt
    if g m then inl ff
    else x
    fi 
   over list:
     v
   with starting value:
    inr ⋅ )
   = (inr ⋅ )
   ∈ (𝔹?)
  ⇐⇒ ∀i:ℕ||v|| + 1. ((¬↑(f [u / v][i])) ∧ (¬↑(g [u / v][i]))))
BY
{ (Unfold `priority-select` (-5)) }

1
1. [T] : Type
2. u : T
3. v : T List
4. ∀f,g:T ⟶ 𝔹.
     ((accumulate (with value x and list item m):
        if isl(x) then x
        if f m then inl tt
        if g m then inl ff
        else x
        fi 
       over list:
         v
       with starting value:
        inr ⋅ )
       = (inl tt)
       ∈ (𝔹?)
      ⇐⇒ ∃i:ℕ||v||. ((↑(f v[i])) ∧ (∀j:ℕi. (¬↑(g v[j])))))
     ∧ (accumulate (with value x and list item m):
         if isl(x) then x
         if f m then inl tt
         if g m then inl ff
         else x
         fi 
        over list:
          v
        with starting value:
         inr ⋅ )
        = (inl ff)
        ∈ (𝔹?)
       ⇐⇒ ∃i:ℕ||v||. ((↑(g v[i])) ∧ (∀j:ℕi + 1. (¬↑(f v[j])))))
     ∧ (accumulate (with value x and list item m):
         if isl(x) then x
         if f m then inl tt
         if g m then inl ff
         else x
         fi 
        over list:
          v
        with starting value:
         inr ⋅ )
        = (inr ⋅ )
        ∈ (𝔹?)
       ⇐⇒ ∀i:ℕ||v||. ((¬↑(f v[i])) ∧ (¬↑(g v[i])))))
5. f : T ⟶ 𝔹
6. g : T ⟶ 𝔹
7. ¬↑(f u)
8. ¬↑(g u)
⊢ (accumulate (with value x and list item m):
    if isl(x) then x
    if f m then inl tt
    if g m then inl ff
    else x
    fi 
   over list:
     v
   with starting value:
    inr ⋅ )
   = (inl tt)
   ∈ (𝔹?)
  ⇐⇒ ∃i:ℕ||v|| + 1. ((↑(f [u / v][i])) ∧ (∀j:ℕi. (¬↑(g [u / v][j])))))
∧ (accumulate (with value x and list item m):
    if isl(x) then x
    if f m then inl tt
    if g m then inl ff
    else x
    fi 
   over list:
     v
   with starting value:
    inr ⋅ )
   = (inl ff)
   ∈ (𝔹?)
  ⇐⇒ ∃i:ℕ||v|| + 1. ((↑(g [u / v][i])) ∧ (∀j:ℕi + 1. (¬↑(f [u / v][j])))))
∧ (accumulate (with value x and list item m):
    if isl(x) then x
    if f m then inl tt
    if g m then inl ff
    else x
    fi 
   over list:
     v
   with starting value:
    inr ⋅ )
   = (inr ⋅ )
   ∈ (𝔹?)
  ⇐⇒ ∀i:ℕ||v|| + 1. ((¬↑(f [u / v][i])) ∧ (¬↑(g [u / v][i]))))

---

Latex:

---

Latex:
.....falsecase..... 
1.  [T]  :  Type
2.  u  :  T
3.  v  :  T  List
4.  \mforall{}f,g:T  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}.
          ((priority-select(f;g;v)  =  (inl  tt)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}i:\mBbbN{}||v||.  ((\muparrow{}(f  v[i]))  \mwedge{}  (\mforall{}j:\mBbbN{}i.  (\mneg{}\muparrow{}(g  v[j])))))
          \mwedge{}  (priority-select(f;g;v)  =  (inl  ff)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}i:\mBbbN{}||v||.  ((\muparrow{}(g  v[i]))  \mwedge{}  (\mforall{}j:\mBbbN{}i  +  1.  (\mneg{}\muparrow{}(f  v[j])))))
          \mwedge{}  (priority-select(f;g;v)  =  (inr  \mcdot{}  )  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mforall{}i:\mBbbN{}||v||.  ((\mneg{}\muparrow{}(f  v[i]))  \mwedge{}  (\mneg{}\muparrow{}(g  v[i])))))
5.  f  :  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
6.  g  :  T  {}\mrightarrow{}  \mBbbB{}
7.  \mneg{}\muparrow{}(f  u)
8.  \mneg{}\muparrow{}(g  u)
\mvdash{}  (accumulate  (with  value  x  and  list  item  m):
        if  isl(x)  then  x
        if  f  m  then  inl  tt
        if  g  m  then  inl  ff
        else  x
        fi 
      over  list:
          v
      with  starting  value:
        inr  \mcdot{}  )
      =  (inl  tt)
    \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}i:\mBbbN{}||v||  +  1.  ((\muparrow{}(f  [u  /  v][i]))  \mwedge{}  (\mforall{}j:\mBbbN{}i.  (\mneg{}\muparrow{}(g  [u  /  v][j])))))
\mwedge{}  (accumulate  (with  value  x  and  list  item  m):
        if  isl(x)  then  x
        if  f  m  then  inl  tt
        if  g  m  then  inl  ff
        else  x
        fi 
      over  list:
          v
      with  starting  value:
        inr  \mcdot{}  )
      =  (inl  ff)
    \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}i:\mBbbN{}||v||  +  1.  ((\muparrow{}(g  [u  /  v][i]))  \mwedge{}  (\mforall{}j:\mBbbN{}i  +  1.  (\mneg{}\muparrow{}(f  [u  /  v][j])))))
\mwedge{}  (accumulate  (with  value  x  and  list  item  m):
        if  isl(x)  then  x
        if  f  m  then  inl  tt
        if  g  m  then  inl  ff
        else  x
        fi 
      over  list:
          v
      with  starting  value:
        inr  \mcdot{}  )
      =  (inr  \mcdot{}  )
    \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mforall{}i:\mBbbN{}||v||  +  1.  ((\mneg{}\muparrow{}(f  [u  /  v][i]))  \mwedge{}  (\mneg{}\muparrow{}(g  [u  /  v][i]))))


By

---

Latex:
(Unfold  `priority-select`  (-5))

---

Home Index