---

Step * 1 1 of Lemma proper-divisor-aux_wf


1. n : ℕ+
2. m : ℕ
3. n < (m * m) * m * m
4. m * m < n
5. 1 < m
6. ∀i:ℕm. ((0 ≤ (i * m)) ∧ (i * m) + m < n)
7. b : ℤ
8. 0 < b
9. ((b - 1) ≤ m)
⇒ (proper-divisor-aux(n;m;b - 1;(m * (m - b - 1)) + 1;m * ((m - b - 1) + 1)) ∈ (∃n1:ℤ [(n1 < n ∧ (2 ≤ n1) ∧ (n1 | n))])
    ∨ (¬(∃i:{m - b - 1..m-}. (↑isl(divisor-test(n;(i * m) + 1;(i * m) + m))))))
10. b ≤ m
11. ¬(b = 0 ∈ ℤ)
⊢ case divisor-test(n;(m * (m - b)) + 1;m * ((m - b) + 1))
   of inl(x) =>
   inl x
   | inr(x) =>
   eval j' = (m * ((m - b) + 1)) + m in
   eval i' = (m * ((m - b) + 1)) + 1 in
   eval b' = b - 1 in
     proper-divisor-aux(n;m;b';i';j') ∈ ∃n1:ℤ [(n1 < n ∧ (2 ≤ n1) ∧ (n1 | n))] + ((∃i:{m - b..m-}
                                                                                    (↑isl(divisor-test(n;(i * m) + 1;(i
                                                                                    * m)
                                                                                    + m)))) ⟶ False)
BY
{ TACTIC:(Subst' ⌜((m * ((m - b) + 1)) + m) = (m * ((m - b - 1) + 1)) ∈ ℤ⌝ 0⋅
          THEN Subst' ⌜((m * ((m - b) + 1)) + 1) = ((m * (m - b - 1)) + 1) ∈ ℤ⌝ 0⋅
          ) }

1
1. n : ℕ+
2. m : ℕ
3. n < (m * m) * m * m
4. m * m < n
5. 1 < m
6. ∀i:ℕm. ((0 ≤ (i * m)) ∧ (i * m) + m < n)
7. b : ℤ
8. 0 < b
9. ((b - 1) ≤ m)
⇒ (proper-divisor-aux(n;m;b - 1;(m * (m - b - 1)) + 1;m * ((m - b - 1) + 1)) ∈ (∃n1:ℤ [(n1 < n ∧ (2 ≤ n1) ∧ (n1 | n))])
    ∨ (¬(∃i:{m - b - 1..m-}. (↑isl(divisor-test(n;(i * m) + 1;(i * m) + m))))))
10. b ≤ m
11. ¬(b = 0 ∈ ℤ)
⊢ case divisor-test(n;(m * (m - b)) + 1;m * ((m - b) + 1))
   of inl(x) =>
   inl x
   | inr(x) =>
   eval j' = m * ((m - b - 1) + 1) in
   eval i' = (m * (m - b - 1)) + 1 in
   eval b' = b - 1 in
     proper-divisor-aux(n;m;b';i';j') ∈ ∃n1:ℤ [(n1 < n ∧ (2 ≤ n1) ∧ (n1 | n))] + ((∃i:{m - b..m-}
                                                                                    (↑isl(divisor-test(n;(i * m) + 1;(i
                                                                                    * m)
                                                                                    + m)))) ⟶ False)

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}\msupplus{}
2.  m  :  \mBbbN{}
3.  n  <  (m  *  m)  *  m  *  m
4.  m  *  m  <  n
5.  1  <  m
6.  \mforall{}i:\mBbbN{}m.  ((0  \mleq{}  (i  *  m))  \mwedge{}  (i  *  m)  +  m  <  n)
7.  b  :  \mBbbZ{}
8.  0  <  b
9.  ((b  -  1)  \mleq{}  m)
{}\mRightarrow{}  (proper-divisor-aux(n;m;b  -  1;(m  *  (m  -  b  -  1))  +  1;m  *  ((m  -  b  -  1)  +  1))  \mmember{}  (\mexists{}n1:\mBbbZ{}  [(n1  <  n
                                                                                                                                                                              \mwedge{}  (2  \mleq{}  n1)
                                                                                                                                                                              \mwedge{}  (n1  |  n))])
        \mvee{}  (\mneg{}(\mexists{}i:\{m  -  b  -  1..m\msupminus{}\}.  (\muparrow{}isl(divisor-test(n;(i  *  m)  +  1;(i  *  m)  +  m))))))
10.  b  \mleq{}  m
11.  \mneg{}(b  =  0)
\mvdash{}  case  divisor-test(n;(m  *  (m  -  b))  +  1;m  *  ((m  -  b)  +  1))
      of  inl(x)  =>
      inl  x
      |  inr(x)  =>
      eval  j'  =  (m  *  ((m  -  b)  +  1))  +  m  in
      eval  i'  =  (m  *  ((m  -  b)  +  1))  +  1  in
      eval  b'  =  b  -  1  in
          proper-divisor-aux(n;m;b';i';j')
    \mmember{}  \mexists{}n1:\mBbbZ{}  [(n1  <  n  \mwedge{}  (2  \mleq{}  n1)  \mwedge{}  (n1  |  n))]  +  ((\mexists{}i:\{m  -  b..m\msupminus{}\}
                                                                                                (\muparrow{}isl(divisor-test(n;(i  *  m)  +  1;(i  *  m)  +  m))))
                                                                                          {}\mrightarrow{}  False)


By

---

Latex:
TACTIC:(Subst'  \mkleeneopen{}((m  *  ((m  -  b)  +  1))  +  m)  =  (m  *  ((m  -  b  -  1)  +  1))\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                THEN  Subst'  \mkleeneopen{}((m  *  ((m  -  b)  +  1))  +  1)  =  ((m  *  (m  -  b  -  1))  +  1)\mkleeneclose{}  0\mcdot{}
                )

---

Home Index