---

Step * 1 1 2 2 1 of Lemma sum-reindex


1. n : ℕ
2. a : ℕn ⟶ ℤ
3. m : ℕ
4. b : ℕm ⟶ ℤ
5. f : {i:ℕn| ¬(a[i] = 0 ∈ ℤ)}  ⟶ {j:ℕm| ¬(b[j] = 0 ∈ ℤ)} 
6. Bij({i:ℕn| ¬(a[i] = 0 ∈ ℤ)} ;{j:ℕm| ¬(b[j] = 0 ∈ ℤ)} ;f)
7. ∀i:{i:ℕn| ¬(a[i] = 0 ∈ ℤ)} . (a[i] = b[f i] ∈ ℤ)
8. X : bag(ℕm)
9. bag-no-repeats(ℕm;X)
10. upto(m) = X ∈ {X:bag(ℕm)| bag-no-repeats(ℕm;X)} 
11. Y : bag(ℕn)
12. bag-no-repeats(ℕn;Y)
13. upto(n) = Y ∈ {X:bag(ℕn)| bag-no-repeats(ℕn;X)} 
⊢ [j∈X|¬b(b[j] =z 0)] = bag-map(f;[i∈Y|¬b(a[i] =z 0)]) ∈ bag(ℕm)
BY
{ (BLemma `bag-extensionality-no-repeats`⋅ THEN Auto) }

1
1. n : ℕ
2. a : ℕn ⟶ ℤ
3. m : ℕ
4. b : ℕm ⟶ ℤ
5. f : {i:ℕn| ¬(a[i] = 0 ∈ ℤ)}  ⟶ {j:ℕm| ¬(b[j] = 0 ∈ ℤ)} 
6. Bij({i:ℕn| ¬(a[i] = 0 ∈ ℤ)} ;{j:ℕm| ¬(b[j] = 0 ∈ ℤ)} ;f)
7. ∀i:{i:ℕn| ¬(a[i] = 0 ∈ ℤ)} . (a[i] = b[f i] ∈ ℤ)
8. X : bag(ℕm)
9. bag-no-repeats(ℕm;X)
10. upto(m) = X ∈ {X:bag(ℕm)| bag-no-repeats(ℕm;X)} 
11. Y : bag(ℕn)
12. bag-no-repeats(ℕn;Y)
13. upto(n) = Y ∈ {X:bag(ℕn)| bag-no-repeats(ℕn;X)} 
⊢ bag-no-repeats(ℕm;[j∈X|¬b(b[j] =z 0)])

2
1. n : ℕ
2. a : ℕn ⟶ ℤ
3. m : ℕ
4. b : ℕm ⟶ ℤ
5. f : {i:ℕn| ¬(a[i] = 0 ∈ ℤ)}  ⟶ {j:ℕm| ¬(b[j] = 0 ∈ ℤ)} 
6. Bij({i:ℕn| ¬(a[i] = 0 ∈ ℤ)} ;{j:ℕm| ¬(b[j] = 0 ∈ ℤ)} ;f)
7. ∀i:{i:ℕn| ¬(a[i] = 0 ∈ ℤ)} . (a[i] = b[f i] ∈ ℤ)
8. X : bag(ℕm)
9. bag-no-repeats(ℕm;X)
10. upto(m) = X ∈ {X:bag(ℕm)| bag-no-repeats(ℕm;X)} 
11. Y : bag(ℕn)
12. bag-no-repeats(ℕn;Y)
13. upto(n) = Y ∈ {X:bag(ℕn)| bag-no-repeats(ℕn;X)} 
14. bag-no-repeats(ℕm;[j∈X|¬b(b[j] =z 0)])
⊢ bag-no-repeats(ℕm;bag-map(f;[i∈Y|¬b(a[i] =z 0)]))

3
1. n : ℕ
2. a : ℕn ⟶ ℤ
3. m : ℕ
4. b : ℕm ⟶ ℤ
5. f : {i:ℕn| ¬(a[i] = 0 ∈ ℤ)}  ⟶ {j:ℕm| ¬(b[j] = 0 ∈ ℤ)} 
6. Bij({i:ℕn| ¬(a[i] = 0 ∈ ℤ)} ;{j:ℕm| ¬(b[j] = 0 ∈ ℤ)} ;f)
7. ∀i:{i:ℕn| ¬(a[i] = 0 ∈ ℤ)} . (a[i] = b[f i] ∈ ℤ)
8. X : bag(ℕm)
9. bag-no-repeats(ℕm;X)
10. upto(m) = X ∈ {X:bag(ℕm)| bag-no-repeats(ℕm;X)} 
11. Y : bag(ℕn)
12. bag-no-repeats(ℕn;Y)
13. upto(n) = Y ∈ {X:bag(ℕn)| bag-no-repeats(ℕn;X)} 
14. x : ℕm
15. x ↓∈ [j∈X|¬b(b[j] =z 0)]
⊢ x ↓∈ bag-map(f;[i∈Y|¬b(a[i] =z 0)])

4
1. n : ℕ
2. a : ℕn ⟶ ℤ
3. m : ℕ
4. b : ℕm ⟶ ℤ
5. f : {i:ℕn| ¬(a[i] = 0 ∈ ℤ)}  ⟶ {j:ℕm| ¬(b[j] = 0 ∈ ℤ)} 
6. Bij({i:ℕn| ¬(a[i] = 0 ∈ ℤ)} ;{j:ℕm| ¬(b[j] = 0 ∈ ℤ)} ;f)
7. ∀i:{i:ℕn| ¬(a[i] = 0 ∈ ℤ)} . (a[i] = b[f i] ∈ ℤ)
8. X : bag(ℕm)
9. bag-no-repeats(ℕm;X)
10. upto(m) = X ∈ {X:bag(ℕm)| bag-no-repeats(ℕm;X)} 
11. Y : bag(ℕn)
12. bag-no-repeats(ℕn;Y)
13. upto(n) = Y ∈ {X:bag(ℕn)| bag-no-repeats(ℕn;X)} 
14. x : ℕm
15. x ↓∈ bag-map(f;[i∈Y|¬b(a[i] =z 0)])
⊢ x ↓∈ [j∈X|¬b(b[j] =z 0)]

---

Latex:

---

Latex:

1.  n  :  \mBbbN{}
2.  a  :  \mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
3.  m  :  \mBbbN{}
4.  b  :  \mBbbN{}m  {}\mrightarrow{}  \mBbbZ{}
5.  f  :  \{i:\mBbbN{}n|  \mneg{}(a[i]  =  0)\}    {}\mrightarrow{}  \{j:\mBbbN{}m|  \mneg{}(b[j]  =  0)\} 
6.  Bij(\{i:\mBbbN{}n|  \mneg{}(a[i]  =  0)\}  ;\{j:\mBbbN{}m|  \mneg{}(b[j]  =  0)\}  ;f)
7.  \mforall{}i:\{i:\mBbbN{}n|  \mneg{}(a[i]  =  0)\}  .  (a[i]  =  b[f  i])
8.  X  :  bag(\mBbbN{}m)
9.  bag-no-repeats(\mBbbN{}m;X)
10.  upto(m)  =  X
11.  Y  :  bag(\mBbbN{}n)
12.  bag-no-repeats(\mBbbN{}n;Y)
13.  upto(n)  =  Y
\mvdash{}  [j\mmember{}X|\mneg{}\msubb{}(b[j]  =\msubz{}  0)]  =  bag-map(f;[i\mmember{}Y|\mneg{}\msubb{}(a[i]  =\msubz{}  0)])


By

---

Latex:
(BLemma  `bag-extensionality-no-repeats`\mcdot{}  THEN  Auto)

---

Home Index