---

Step * 4 1 1 of Lemma add-polynom-val

.....assertion..... 
1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk
     ∀[n:ℕ]. ∀[p,q:polyform(n)].
       (((tree_size(p) + tree_size(q)) ≤ k) ⇒ (∀[l:{l:ℤ List| n ≤ ||l||} ]. (add-polynom(p;q)@l = (p@l + q@l) ∈ ℤ)))
3. n : ℕ
4. left : tree(ℤ)
5. p2 : tree(ℤ)
6. ↑(ispolyform(left) (n - 1))
7. ↑(ispolyform(p2) n)
8. 0 < n
9. l1 : tree(ℤ)
10. q2 : tree(ℤ)
11. ↑(ispolyform(l1) (n - 1))
12. ↑(ispolyform(q2) n)
13. 0 < n
14. (((1 + tree_size(left)) + tree_size(p2)) + (1 + tree_size(l1)) + tree_size(q2)) ≤ k
15. l : {l:ℤ List| n ≤ ||l||} 
16. tree_node(left;p2) ∈ polyform(n)
17. tree_node(l1;q2) ∈ polyform(n)
18. left ∈ polyform(n - 1)
19. p2 ∈ polyform(n)
20. q2 ∈ polyform(n)
21. l1 ∈ polyform(n - 1)
22. ∀[l:{l:ℤ List| (n - 1) ≤ ||l||} ]. (add-polynom(left;l1)@l = (left@l + l1@l) ∈ ℤ)
23. ∀[l:{l:ℤ List| n ≤ ||l||} ]. (add-polynom(p2;q2)@l = (p2@l + q2@l) ∈ ℤ)
⊢ tree_node(add-polynom(left;l1);add-polynom(p2;q2))@l = (tree_node(left;p2)@l + tree_node(l1;q2)@l) ∈ ℤ
BY
{ (RepeatFor 2 (DVar `l')
   THEN All Reduce
   THEN Try ((Assert ⌜False⌝⋅ THEN Complete (Auto)))
   THEN RepUR ``poly-int-val poly-val-fun`` 0
   THEN Fold `poly-val-fun` 0
   THEN Fold `poly-int-val` 0) }

1
1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk
     ∀[n:ℕ]. ∀[p,q:polyform(n)].
       (((tree_size(p) + tree_size(q)) ≤ k) ⇒ (∀[l:{l:ℤ List| n ≤ ||l||} ]. (add-polynom(p;q)@l = (p@l + q@l) ∈ ℤ)))
3. n : ℕ
4. left : tree(ℤ)
5. p2 : tree(ℤ)
6. ↑(ispolyform(left) (n - 1))
7. ↑(ispolyform(p2) n)
8. 0 < n
9. l1 : tree(ℤ)
10. q2 : tree(ℤ)
11. ↑(ispolyform(l1) (n - 1))
12. ↑(ispolyform(q2) n)
13. 0 < n
14. (((1 + tree_size(left)) + tree_size(p2)) + (1 + tree_size(l1)) + tree_size(q2)) ≤ k
15. u : ℤ
16. v : ℤ List
17. n ≤ (||v|| + 1)
18. tree_node(left;p2) ∈ polyform(n)
19. tree_node(l1;q2) ∈ polyform(n)
20. left ∈ polyform(n - 1)
21. p2 ∈ polyform(n)
22. q2 ∈ polyform(n)
23. l1 ∈ polyform(n - 1)
24. ∀[l:{l:ℤ List| (n - 1) ≤ ||l||} ]. (add-polynom(left;l1)@l = (left@l + l1@l) ∈ ℤ)
25. ∀[l:{l:ℤ List| n ≤ ||l||} ]. (add-polynom(p2;q2)@l = (p2@l + q2@l) ∈ ℤ)
⊢ eval t = v in
  eval av = add-polynom(left;l1)@t in
  eval bv = add-polynom(p2;q2)@[u / v] in
    if bv=0 then av else eval h = u in av + (h * bv)
= (eval t = v in
   eval av = left@t in
   eval bv = p2@[u / v] in
     if bv=0 then av else eval h = u in av + (h * bv)
  + eval t = v in
    eval av = l1@t in
    eval bv = q2@[u / v] in
      if bv=0 then av else eval h = u in av + (h * bv))
∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:
.....assertion..... 
1.  k  :  \mBbbN{}
2.  \mforall{}k:\mBbbN{}k
          \mforall{}[n:\mBbbN{}].  \mforall{}[p,q:polyform(n)].
              (((tree\_size(p)  +  tree\_size(q))  \mleq{}  k)
              {}\mRightarrow{}  (\mforall{}[l:\{l:\mBbbZ{}  List|  n  \mleq{}  ||l||\}  ].  (add-polynom(p;q)@l  =  (p@l  +  q@l))))
3.  n  :  \mBbbN{}
4.  left  :  tree(\mBbbZ{})
5.  p2  :  tree(\mBbbZ{})
6.  \muparrow{}(ispolyform(left)  (n  -  1))
7.  \muparrow{}(ispolyform(p2)  n)
8.  0  <  n
9.  l1  :  tree(\mBbbZ{})
10.  q2  :  tree(\mBbbZ{})
11.  \muparrow{}(ispolyform(l1)  (n  -  1))
12.  \muparrow{}(ispolyform(q2)  n)
13.  0  <  n
14.  (((1  +  tree\_size(left))  +  tree\_size(p2))  +  (1  +  tree\_size(l1))  +  tree\_size(q2))  \mleq{}  k
15.  l  :  \{l:\mBbbZ{}  List|  n  \mleq{}  ||l||\} 
16.  tree\_node(left;p2)  \mmember{}  polyform(n)
17.  tree\_node(l1;q2)  \mmember{}  polyform(n)
18.  left  \mmember{}  polyform(n  -  1)
19.  p2  \mmember{}  polyform(n)
20.  q2  \mmember{}  polyform(n)
21.  l1  \mmember{}  polyform(n  -  1)
22.  \mforall{}[l:\{l:\mBbbZ{}  List|  (n  -  1)  \mleq{}  ||l||\}  ].  (add-polynom(left;l1)@l  =  (left@l  +  l1@l))
23.  \mforall{}[l:\{l:\mBbbZ{}  List|  n  \mleq{}  ||l||\}  ].  (add-polynom(p2;q2)@l  =  (p2@l  +  q2@l))
\mvdash{}  tree\_node(add-polynom(left;l1);add-polynom(p2;q2))@l  =  (tree\_node(left;p2)@l  +  tree\_node(l1;q2)@l)


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (DVar  `l')
  THEN  All  Reduce
  THEN  Try  ((Assert  \mkleeneopen{}False\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  Complete  (Auto)))
  THEN  RepUR  ``poly-int-val  poly-val-fun``  0
  THEN  Fold  `poly-val-fun`  0
  THEN  Fold  `poly-int-val`  0)

---

Home Index