---

Step * 2 1 2 2 1 1 of Lemma mul-polynom-val


1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk
     ∀[n:ℕ]. ∀[p,q:polyform(n)].
       (((tree_size(p) + tree_size(q)) ≤ k) ⇒ (∀[l:{l:ℤ List| n ≤ ||l||} ]. (mul-polynom(p;q)@l = (p@l * q@l) ∈ ℤ)))
3. n : ℕ
4. p1 : ℤ
5. p1 ≠ 1
6. p1 ≠ 0
7. True
8. left : tree(ℤ)
9. q2 : tree(ℤ)
10. ((↑(ispolyform(left) (n - 1))) ∧ (↑(ispolyform(q2) n))) ∧ 0 < n
11. (0 + (1 + tree_size(left)) + tree_size(q2)) ≤ k
12. u : ℤ
13. v : ℤ List
14. n ≤ (||v|| + 1)
15. mul-polynom(tree_leaf(p1);left) ∈ polyform(n - 1)
16. mul-polynom(tree_leaf(p1);q2) ∈ polyform(n)
⊢ eval av = mul-polynom(tree_leaf(p1);left)@v in
  eval bv = mul-polynom(tree_leaf(p1);q2)@[u / v] in
    if bv=0 then av else eval h = u in av + (h * bv)
= (p1 * eval av = left@v in eval bv = q2@[u / v] in   if bv=0 then av else eval h = u in av + (h * bv))
∈ ℤ
BY
{ ((InstHyp [⌜k - 1⌝;⌜n - 1⌝;⌜tree_leaf(p1)⌝;⌜left⌝;⌜v⌝] 2⋅
    THENA (Auto THEN Subst' tree_size(tree_leaf(p1)) ~ 0 0 THEN Auto)
    )
   THEN HypSubst' (-1) 0
   THEN (InstHyp [⌜k - 1⌝;⌜n⌝;⌜tree_leaf(p1)⌝;⌜q2⌝;⌜[u / v]⌝] 2⋅
         THENA (Auto THEN Subst' tree_size(tree_leaf(p1)) ~ 0 0 THEN Auto)
         )
   THEN HypSubst' (-1) 0) }

1
1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk
     ∀[n:ℕ]. ∀[p,q:polyform(n)].
       (((tree_size(p) + tree_size(q)) ≤ k) ⇒ (∀[l:{l:ℤ List| n ≤ ||l||} ]. (mul-polynom(p;q)@l = (p@l * q@l) ∈ ℤ)))
3. n : ℕ
4. p1 : ℤ
5. p1 ≠ 1
6. p1 ≠ 0
7. True
8. left : tree(ℤ)
9. q2 : tree(ℤ)
10. ((↑(ispolyform(left) (n - 1))) ∧ (↑(ispolyform(q2) n))) ∧ 0 < n
11. (0 + (1 + tree_size(left)) + tree_size(q2)) ≤ k
12. u : ℤ
13. v : ℤ List
14. n ≤ (||v|| + 1)
15. mul-polynom(tree_leaf(p1);left) ∈ polyform(n - 1)
16. mul-polynom(tree_leaf(p1);q2) ∈ polyform(n)
17. mul-polynom(tree_leaf(p1);left)@v = (tree_leaf(p1)@v * left@v) ∈ ℤ
18. mul-polynom(tree_leaf(p1);q2)@[u / v] = (tree_leaf(p1)@[u / v] * q2@[u / v]) ∈ ℤ
⊢ eval av = tree_leaf(p1)@v * left@v in
  eval bv = tree_leaf(p1)@[u / v] * q2@[u / v] in
    if bv=0 then av else eval h = u in av + (h * bv)
= (p1 * eval av = left@v in eval bv = q2@[u / v] in   if bv=0 then av else eval h = u in av + (h * bv))
∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  \mforall{}k:\mBbbN{}k
          \mforall{}[n:\mBbbN{}].  \mforall{}[p,q:polyform(n)].
              (((tree\_size(p)  +  tree\_size(q))  \mleq{}  k)
              {}\mRightarrow{}  (\mforall{}[l:\{l:\mBbbZ{}  List|  n  \mleq{}  ||l||\}  ].  (mul-polynom(p;q)@l  =  (p@l  *  q@l))))
3.  n  :  \mBbbN{}
4.  p1  :  \mBbbZ{}
5.  p1  \mneq{}  1
6.  p1  \mneq{}  0
7.  True
8.  left  :  tree(\mBbbZ{})
9.  q2  :  tree(\mBbbZ{})
10.  ((\muparrow{}(ispolyform(left)  (n  -  1)))  \mwedge{}  (\muparrow{}(ispolyform(q2)  n)))  \mwedge{}  0  <  n
11.  (0  +  (1  +  tree\_size(left))  +  tree\_size(q2))  \mleq{}  k
12.  u  :  \mBbbZ{}
13.  v  :  \mBbbZ{}  List
14.  n  \mleq{}  (||v||  +  1)
15.  mul-polynom(tree\_leaf(p1);left)  \mmember{}  polyform(n  -  1)
16.  mul-polynom(tree\_leaf(p1);q2)  \mmember{}  polyform(n)
\mvdash{}  eval  av  =  mul-polynom(tree\_leaf(p1);left)@v  in
    eval  bv  =  mul-polynom(tree\_leaf(p1);q2)@[u  /  v]  in
        if  bv=0  then  av  else  eval  h  =  u  in  av  +  (h  *  bv)
=  (p1
    *  eval  av  =  left@v  in
        eval  bv  =  q2@[u  /  v]  in
            if  bv=0  then  av  else  eval  h  =  u  in  av  +  (h  *  bv))


By

---

Latex:
((InstHyp  [\mkleeneopen{}k  -  1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}n  -  1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}tree\_leaf(p1)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}left\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}v\mkleeneclose{}]  2\mcdot{}
    THENA  (Auto  THEN  Subst'  tree\_size(tree\_leaf(p1))  \msim{}  0  0  THEN  Auto)
    )
  THEN  HypSubst'  (-1)  0
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}k  -  1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}tree\_leaf(p1)\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}q2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}[u  /  v]\mkleeneclose{}]  2\mcdot{}
              THENA  (Auto  THEN  Subst'  tree\_size(tree\_leaf(p1))  \msim{}  0  0  THEN  Auto)
              )
  THEN  HypSubst'  (-1)  0)

---

Home Index