---

Step * 4 1 1 of Lemma mul-polynom_wf


1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk. ∀[n:ℕ]. ∀[p,q:polyform(n)].  (((tree_size(p) + tree_size(q)) ≤ k) ⇒ (mul-polynom(p;q) ∈ polyform(n)))
3. n : ℕ
4. left : tree(ℤ)
5. p2 : tree(ℤ)
6. ((↑(ispolyform(left) (n - 1))) ∧ (↑(ispolyform(p2) n))) ∧ 0 < n
7. l1 : tree(ℤ)
8. q2 : tree(ℤ)
9. ((↑(ispolyform(l1) (n - 1))) ∧ (↑(ispolyform(q2) n))) ∧ 0 < n
10. (((1 + tree_size(left)) + tree_size(p2)) + (1 + tree_size(l1)) + tree_size(q2)) ≤ k
11. aa : polyform(n - 1)
12. mul-polynom(left;l1) = aa ∈ polyform(n - 1)
13. tree_node(left;polyconst(0)) ∈ polyform(n)
14. tree_size(tree_node(left;polyconst(0))) = (1 + tree_size(left)) ∈ ℤ
15. tree_node(l1;polyconst(0)) ∈ polyform(n)
16. tree_size(tree_node(l1;polyconst(0))) = (1 + tree_size(l1)) ∈ ℤ
17. ab : polyform(n)
18. mul-polynom(tree_node(left;polyconst(0));q2) = ab ∈ polyform(n)
19. ba : polyform(n)
20. mul-polynom(p2;tree_node(l1;polyconst(0))) = ba ∈ polyform(n)
⊢ eval bb = mul-polynom(p2;q2) in
  eval mid = add-polynom(ab;ba) in
  eval bb' = add-polynom(mid;tree_node(polyconst(0);bb)) in
    tree_node(aa;bb') ∈ polyform(n)
BY
{ ((GenConcl ⌜mul-polynom(p2;q2) = bb ∈ polyform(n)⌝⋅ THENA (InstHyp [⌜k - 1⌝;⌜n⌝;⌜p2⌝;⌜q2⌝] 2⋅ THEN Auto))
   THEN (CallByValueReduce 0 THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜add-polynom(ab;ba) = mid ∈ polyform(n)⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (CallByValueReduce 0 THENA Auto)) }

1
1. k : ℕ
2. ∀k:ℕk. ∀[n:ℕ]. ∀[p,q:polyform(n)].  (((tree_size(p) + tree_size(q)) ≤ k) ⇒ (mul-polynom(p;q) ∈ polyform(n)))
3. n : ℕ
4. left : tree(ℤ)
5. p2 : tree(ℤ)
6. ((↑(ispolyform(left) (n - 1))) ∧ (↑(ispolyform(p2) n))) ∧ 0 < n
7. l1 : tree(ℤ)
8. q2 : tree(ℤ)
9. ((↑(ispolyform(l1) (n - 1))) ∧ (↑(ispolyform(q2) n))) ∧ 0 < n
10. (((1 + tree_size(left)) + tree_size(p2)) + (1 + tree_size(l1)) + tree_size(q2)) ≤ k
11. aa : polyform(n - 1)
12. mul-polynom(left;l1) = aa ∈ polyform(n - 1)
13. tree_node(left;polyconst(0)) ∈ polyform(n)
14. tree_size(tree_node(left;polyconst(0))) = (1 + tree_size(left)) ∈ ℤ
15. tree_node(l1;polyconst(0)) ∈ polyform(n)
16. tree_size(tree_node(l1;polyconst(0))) = (1 + tree_size(l1)) ∈ ℤ
17. ab : polyform(n)
18. mul-polynom(tree_node(left;polyconst(0));q2) = ab ∈ polyform(n)
19. ba : polyform(n)
20. mul-polynom(p2;tree_node(l1;polyconst(0))) = ba ∈ polyform(n)
21. bb : polyform(n)
22. mul-polynom(p2;q2) = bb ∈ polyform(n)
23. mid : polyform(n)
24. add-polynom(ab;ba) = mid ∈ polyform(n)
⊢ eval bb' = add-polynom(mid;tree_node(polyconst(0);bb)) in
  tree_node(aa;bb') ∈ polyform(n)

---

Latex:

---

Latex:

1.  k  :  \mBbbN{}
2.  \mforall{}k:\mBbbN{}k
          \mforall{}[n:\mBbbN{}].  \mforall{}[p,q:polyform(n)].
              (((tree\_size(p)  +  tree\_size(q))  \mleq{}  k)  {}\mRightarrow{}  (mul-polynom(p;q)  \mmember{}  polyform(n)))
3.  n  :  \mBbbN{}
4.  left  :  tree(\mBbbZ{})
5.  p2  :  tree(\mBbbZ{})
6.  ((\muparrow{}(ispolyform(left)  (n  -  1)))  \mwedge{}  (\muparrow{}(ispolyform(p2)  n)))  \mwedge{}  0  <  n
7.  l1  :  tree(\mBbbZ{})
8.  q2  :  tree(\mBbbZ{})
9.  ((\muparrow{}(ispolyform(l1)  (n  -  1)))  \mwedge{}  (\muparrow{}(ispolyform(q2)  n)))  \mwedge{}  0  <  n
10.  (((1  +  tree\_size(left))  +  tree\_size(p2))  +  (1  +  tree\_size(l1))  +  tree\_size(q2))  \mleq{}  k
11.  aa  :  polyform(n  -  1)
12.  mul-polynom(left;l1)  =  aa
13.  tree\_node(left;polyconst(0))  \mmember{}  polyform(n)
14.  tree\_size(tree\_node(left;polyconst(0)))  =  (1  +  tree\_size(left))
15.  tree\_node(l1;polyconst(0))  \mmember{}  polyform(n)
16.  tree\_size(tree\_node(l1;polyconst(0)))  =  (1  +  tree\_size(l1))
17.  ab  :  polyform(n)
18.  mul-polynom(tree\_node(left;polyconst(0));q2)  =  ab
19.  ba  :  polyform(n)
20.  mul-polynom(p2;tree\_node(l1;polyconst(0)))  =  ba
\mvdash{}  eval  bb  =  mul-polynom(p2;q2)  in
    eval  mid  =  add-polynom(ab;ba)  in
    eval  bb'  =  add-polynom(mid;tree\_node(polyconst(0);bb))  in
        tree\_node(aa;bb')  \mmember{}  polyform(n)


By

---

Latex:
((GenConcl  \mkleeneopen{}mul-polynom(p2;q2)  =  bb\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  (InstHyp  [\mkleeneopen{}k  -  1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}n\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}p2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}q2\mkleeneclose{}]  2\mcdot{}  THEN  Auto))
  THEN  (CallByValueReduce  0  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}add-polynom(ab;ba)  =  mid\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (CallByValueReduce  0  THENA  Auto))

---

Home Index