---

Step * 2 1 2 2 1 1 1 of Lemma adjugate-property


1. r : CRng
2. n : ℕ
3. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
4. ∀M:Matrix(n;n;r)
     (|M| = (Σ(r) 0 ≤ i < n. if isEven(i + 0) then M[0,i] else -r M[0,i] fi  * |matrix-minor(0;i;M)|) ∈ |r|)
5. M : Matrix(n;n;r)@i
6. x : ℕn@i
7. ¬(x = 0 ∈ ℤ)
8. |matrix-swap-rows(M;0;x)| = (-r |M|) ∈ |r|
9. (-r |matrix-swap-rows(M;0;x)|) = |M| ∈ |r|
10. i : ℕn@i
⊢ (-r 
   (if isEven(i + 0) then M[x,i] else -r M[x,i] fi  
    * 
    |matrix-minor(0;i;matrix(M[if x@0=0 then x else if x@0=x then 0 else x@0,y]))|))
= (if isEven(i + x) then M[x,i] else -r M[x,i] fi  * |matrix-minor(x;i;M)|)
∈ |r|
BY
{ (Subst' |matrix-minor(0;i;matrix(M[if x@0=0 then x else if x@0=x then 0 else x@0,y]))|
   = if isOdd(x) then |matrix-minor(x;i;M)| else -r |matrix-minor(x;i;M)| fi 
   ∈ |r| 0
   THENA Auto
   ) }

1
.....equality..... 
1. r : CRng
2. n : ℕ
3. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
4. ∀M:Matrix(n;n;r)
     (|M| = (Σ(r) 0 ≤ i < n. if isEven(i + 0) then M[0,i] else -r M[0,i] fi  * |matrix-minor(0;i;M)|) ∈ |r|)
5. M : Matrix(n;n;r)@i
6. x : ℕn@i
7. ¬(x = 0 ∈ ℤ)
8. |matrix-swap-rows(M;0;x)| = (-r |M|) ∈ |r|
9. (-r |matrix-swap-rows(M;0;x)|) = |M| ∈ |r|
10. i : ℕn@i
⊢ |matrix-minor(0;i;matrix(M[if x@0=0 then x else if x@0=x then 0 else x@0,y]))|
= if isOdd(x) then |matrix-minor(x;i;M)| else -r |matrix-minor(x;i;M)| fi 
∈ |r|

2
1. r : CRng
2. n : ℕ
3. ¬(n = 0 ∈ ℤ)
4. ∀M:Matrix(n;n;r)
     (|M| = (Σ(r) 0 ≤ i < n. if isEven(i + 0) then M[0,i] else -r M[0,i] fi  * |matrix-minor(0;i;M)|) ∈ |r|)
5. M : Matrix(n;n;r)@i
6. x : ℕn@i
7. ¬(x = 0 ∈ ℤ)
8. |matrix-swap-rows(M;0;x)| = (-r |M|) ∈ |r|
9. (-r |matrix-swap-rows(M;0;x)|) = |M| ∈ |r|
10. i : ℕn@i
⊢ (-r 
   (if isEven(i + 0) then M[x,i] else -r M[x,i] fi  
    * 
    if isOdd(x) then |matrix-minor(x;i;M)| else -r |matrix-minor(x;i;M)| fi ))
= (if isEven(i + x) then M[x,i] else -r M[x,i] fi  * |matrix-minor(x;i;M)|)
∈ |r|

---

Latex:

---

Latex:

1.  r  :  CRng
2.  n  :  \mBbbN{}
3.  \mneg{}(n  =  0)
4.  \mforall{}M:Matrix(n;n;r)
          (|M|
          =  (\mSigma{}(r)  0 
                          \mleq{}  i 
                          <  n
                  if  isEven(i  +  0)  then  M[0,i]  else  -r  M[0,i]  fi    *  |matrix-minor(0;i;M)|))
5.  M  :  Matrix(n;n;r)@i
6.  x  :  \mBbbN{}n@i
7.  \mneg{}(x  =  0)
8.  |matrix-swap-rows(M;0;x)|  =  (-r  |M|)
9.  (-r  |matrix-swap-rows(M;0;x)|)  =  |M|
10.  i  :  \mBbbN{}n@i
\mvdash{}  (-r 
      (if  isEven(i  +  0)  then  M[x,i]  else  -r  M[x,i]  fi   
        * 
        |matrix-minor(0;i;matrix(M[if  x@0=0  then  x  else  if  x@0=x  then  0  else  x@0,y]))|))
=  (if  isEven(i  +  x)  then  M[x,i]  else  -r  M[x,i]  fi    *  |matrix-minor(x;i;M)|)


By

---

Latex:
(Subst'  |matrix-minor(0;i;matrix(M[if  x@0=0  then  x  else  if  x@0=x  then  0  else  x@0,y]))|
  =  if  isOdd(x)  then  |matrix-minor(x;i;M)|  else  -r  |matrix-minor(x;i;M)|  fi    0
  THENA  Auto
  )

---

Home Index