---

Step * of Lemma rng_lsum-partial-permutations

∀[r:CRng]. ∀[n:{2...}]. ∀[i:ℕn]. ∀[F:(ℕn ⟶ ℕn) ⟶ |r|].
  (Σ{r} p ∈ partial-permutations-list(n;i). F[p]
  = Σ{r} f ∈ permutations-list(n - 1). F[(i, n - 1) o extend-injection(n - 1;f)]
  ∈ |r|)
BY
{ ((Auto
    THEN (Assert ∀f:ℕn - 1 →⟶ ℕn - 1. ((i, n - 1) o extend-injection(n - 1;f) ∈ ℕn →⟶ ℕn) BY
                (Intro THEN BLemma `compose-injections` THEN Try (Fold `injection` 0) THEN Auto))
    )
   THEN (InstLemma `rng_lsum_map` [⌜r⌝;⌜ℕn - 1 →⟶ ℕn - 1⌝;⌜ℕn →⟶ ℕn⌝;⌜λf.((i, n - 1) o extend-injection(n - 1;f))⌝;⌜F⌝
         ;⌜permutations-list(n - 1)⌝]⋅
         THENA Try (Complete (Auto))
         )
   THEN Reduce -1
   THEN NthHypEqTrans (-1)
   THEN BLemma `rng_lsum_functionality_wrt_permutation`
   THEN Auto) }

1
1. r : CRng
2. n : {2...}
3. i : ℕn
4. F : (ℕn ⟶ ℕn) ⟶ |r|
5. ∀f:ℕn - 1 →⟶ ℕn - 1. ((i, n - 1) o extend-injection(n - 1;f) ∈ ℕn →⟶ ℕn)
6. Σ{r} x ∈ map(λf.((i, n - 1) o extend-injection(n - 1;f));permutations-list(n - 1)). F[x]
= Σ{r} x ∈ permutations-list(n - 1). F[(i, n - 1) o extend-injection(n - 1;x)]
∈ |r|
⊢ permutation(ℕn →⟶ ℕn;map(λf.((i, n - 1) o extend-injection(n - 1;f));permutations-list(n - 1));
              partial-permutations-list(n;i))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[r:CRng].  \mforall{}[n:\{2...\}].  \mforall{}[i:\mBbbN{}n].  \mforall{}[F:(\mBbbN{}n  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n)  {}\mrightarrow{}  |r|].
    (\mSigma{}\{r\}  p  \mmember{}  partial-permutations-list(n;i).  F[p]
    =  \mSigma{}\{r\}  f  \mmember{}  permutations-list(n  -  1).  F[(i,  n  -  1)  o  extend-injection(n  -  1;f)])


By

---

Latex:
((Auto
    THEN  (Assert  \mforall{}f:\mBbbN{}n  -  1  \mrightarrow{}{}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n  -  1.  ((i,  n  -  1)  o  extend-injection(n  -  1;f)  \mmember{}  \mBbbN{}n  \mrightarrow{}{}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n)  BY
                            (Intro  THEN  BLemma  `compose-injections`  THEN  Try  (Fold  `injection`  0)  THEN  Auto))
    )
  THEN  (InstLemma  `rng\_lsum\_map`  [\mkleeneopen{}r\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mBbbN{}n  -  1  \mrightarrow{}{}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n  -  1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}\mBbbN{}n  \mrightarrow{}{}\mrightarrow{}  \mBbbN{}n\mkleeneclose{};
              \mkleeneopen{}\mlambda{}f.((i,  n  -  1)  o  extend-injection(n  -  1;f))\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}F\mkleeneclose{}
              ;\mkleeneopen{}permutations-list(n  -  1)\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENA  Try  (Complete  (Auto))
              )
  THEN  Reduce  -1
  THEN  NthHypEqTrans  (-1)
  THEN  BLemma  `rng\_lsum\_functionality\_wrt\_permutation`
  THEN  Auto)

---

Home Index