---

Step * 1 3 1 of Lemma K-forces-monotone


1. K : mKripkeStruct
2. fmla : mFOL()
3. isall : 𝔹
4. var : ℤ
5. body : mFOL()
6. ∀i,j:World.
     (i ≤ j ⇒ (∀a:FOAssignment(mFOL-freevars(body),Dom(i)). ((K-forces(K;body) i a) ⊆r (K-forces(K;body) j a))))
7. i : World
8. j : World
9. i ≤ j
10. a : FOAssignment(mFOL-freevars(mFOquant(isall;var;body)),Dom(i))
11. filter(λx.(¬b(x =z var));mFOL-freevars(body)) ⊆ mFOL-freevars(∀var;body))
12. ↑isall
⊢ (∀j:{j:World| i ≤ j} . ∀v:Dom(j).  (K-forces(K;body) j a[var := v])) ⊆r (∀j:{j@0:World| j ≤ j@0} . ∀v:Dom(j).
                                                                            (K-forces(K;body) j a[var := v]))
BY
{ (Unfold `all` 0
   THEN SubtypeReasoning1
   THEN Auto
   THEN Try ((DSetVars THEN InstLemma `K-le_transitivity` [⌜K⌝;⌜i⌝;⌜j⌝;⌜j1⌝]⋅ THEN Auto))) }

1
1. K : mKripkeStruct
2. fmla : mFOL()
3. isall : 𝔹
4. var : ℤ
5. body : mFOL()
6. ∀i,j:World.
     (i ≤ j ⇒ (∀a:FOAssignment(mFOL-freevars(body),Dom(i)). ((K-forces(K;body) i a) ⊆r (K-forces(K;body) j a))))
7. i : World
8. j : World
9. i ≤ j
10. a : FOAssignment(mFOL-freevars(mFOquant(isall;var;body)),Dom(i))
11. filter(λx.(¬b(x =z var));mFOL-freevars(body)) ⊆ mFOL-freevars(∀var;body))
12. ↑isall
⊢ {j@0:World| j ≤ j@0}  ⊆r {j:World| i ≤ j} 

---

Latex:

---

Latex:

1.  K  :  mKripkeStruct
2.  fmla  :  mFOL()
3.  isall  :  \mBbbB{}
4.  var  :  \mBbbZ{}
5.  body  :  mFOL()
6.  \mforall{}i,j:World.
          (i  \mleq{}  j
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:FOAssignment(mFOL-freevars(body),Dom(i))
                      ((K-forces(K;body)  i  a)  \msubseteq{}r  (K-forces(K;body)  j  a))))
7.  i  :  World
8.  j  :  World
9.  i  \mleq{}  j
10.  a  :  FOAssignment(mFOL-freevars(mFOquant(isall;var;body)),Dom(i))
11.  filter(\mlambda{}x.(\mneg{}\msubb{}(x  =\msubz{}  var));mFOL-freevars(body))  \msubseteq{}  mFOL-freevars(\mforall{}var;body))
12.  \muparrow{}isall
\mvdash{}  (\mforall{}j:\{j:World|  i  \mleq{}  j\}  .  \mforall{}v:Dom(j).    (K-forces(K;body)  j  a[var  :=  v]))
        \msubseteq{}r  (\mforall{}j:\{j@0:World|  j  \mleq{}  j@0\}  .  \mforall{}v:Dom(j).    (K-forces(K;body)  j  a[var  :=  v]))


By

---

Latex:
(Unfold  `all`  0
  THEN  SubtypeReasoning1
  THEN  Auto
  THEN  Try  ((DSetVars  THEN  InstLemma  `K-le\_transitivity`  [\mkleeneopen{}K\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}i\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}j\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}j1\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THEN  Auto)))

---

Home Index