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Step * 2 of Lemma Pascal-completion-property


1. r : CRng
2. f : PowerSeries(r)
3. g : PowerSeries(r)
4. x : Atom
5. y : Atom
6. ¬(1 = 0 ∈ |r|)
7. ¬(x = y ∈ Atom)
8. f(x:=0) = f ∈ PowerSeries(r)
9. g(y:=0) = g ∈ PowerSeries(r)
10. f(y:=0) = g(x:=0) ∈ PowerSeries(r)
11. Pascal-completion(r;f;g;x;y)(x:=0) = f ∈ PowerSeries(r)
⊢ Pascal-completion(r;f;g;x;y)(y:=0) = g ∈ PowerSeries(r)
BY
{ (Unfold `Pascal-completion` 0⋅
   THEN (RWW "fps-elim-x-mul fps-elim-x-sub fps-elim-x-add fps-elim-x-one fps-elim-x-zero" 0⋅ THENA Auto)
   THEN (RWW "fps-elim-x-atom" 0⋅ THENA Auto)
   THEN RepUR ``atom-deq`` 0
   THEN RepeatFor 2 (AutoSplit)
   THEN Fold `atom-deq` 0
   THEN (InstLemma `neg_id_fps` [⌜Atom⌝;⌜r⌝]⋅ THENA Auto)
   THEN Unfold `fps-sub` 0
   THEN RWO "-1" 0
   THEN Auto
   THEN ((RWO "fps-pascal-symmetry" 0 THENM RWO "fps-pascal-elim" 0) THENA Auto)
   THEN Unfold `fps-sub` 0
   THEN (GenConcl ⌜(1+-(atom(x))) = x' ∈ PowerSeries(r)⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (RWW "fps-elim-x-elim-x" 0⋅ THENA Auto)
   THEN (Subst' (1+0) = 1 ∈ PowerSeries(r) 0 THENA Auto)
   THEN (FpsNorm 0 THENA Auto))⋅ }

1
1. r : CRng
2. f : PowerSeries(r)
3. g : PowerSeries(r)
4. x : Atom
5. y : Atom
6. y ≠ x ∈ Atom 
7. ¬(1 = 0 ∈ |r|)
8. ¬(x = y ∈ Atom)
9. f(x:=0) = f ∈ PowerSeries(r)
10. g(y:=0) = g ∈ PowerSeries(r)
11. f(y:=0) = g(x:=0) ∈ PowerSeries(r)
12. Pascal-completion(r;f;g;x;y)(x:=0) = f ∈ PowerSeries(r)
13. y = y ∈ Atom
14. -(0) = 0 ∈ PowerSeries(r)
15. x' : PowerSeries(r)
16. (1+-(atom(x))) = x' ∈ PowerSeries(r)
⊢ ((1÷x')*(g(y:=0)*x')) = g ∈ PowerSeries(r)

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Latex:

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Latex:

1.  r  :  CRng
2.  f  :  PowerSeries(r)
3.  g  :  PowerSeries(r)
4.  x  :  Atom
5.  y  :  Atom
6.  \mneg{}(1  =  0)
7.  \mneg{}(x  =  y)
8.  f(x:=0)  =  f
9.  g(y:=0)  =  g
10.  f(y:=0)  =  g(x:=0)
11.  Pascal-completion(r;f;g;x;y)(x:=0)  =  f
\mvdash{}  Pascal-completion(r;f;g;x;y)(y:=0)  =  g


By

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Latex:
(Unfold  `Pascal-completion`  0\mcdot{}
  THEN  (RWW  "fps-elim-x-mul  fps-elim-x-sub  fps-elim-x-add  fps-elim-x-one  fps-elim-x-zero"  0\mcdot{}
              THENA  Auto
              )
  THEN  (RWW  "fps-elim-x-atom"  0\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  RepUR  ``atom-deq``  0
  THEN  RepeatFor  2  (AutoSplit)
  THEN  Fold  `atom-deq`  0
  THEN  (InstLemma  `neg\_id\_fps`  [\mkleeneopen{}Atom\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}r\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  Unfold  `fps-sub`  0
  THEN  RWO  "-1"  0
  THEN  Auto
  THEN  ((RWO  "fps-pascal-symmetry"  0  THENM  RWO  "fps-pascal-elim"  0)  THENA  Auto)
  THEN  Unfold  `fps-sub`  0
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}(1+-(atom(x)))  =  x'\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (RWW  "fps-elim-x-elim-x"  0\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Subst'  (1+0)  =  1  0  THENA  Auto)
  THEN  (FpsNorm  0  THENA  Auto))\mcdot{}

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