---

Step * 1 1 2 1 1 of Lemma fps-mul-slice


1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. n : ℕ
6. f : PowerSeries(X;r)
7. g : PowerSeries(X;r)
8. Assoc(|r|;+r)
9. Comm(|r|;+r)
10. x : bag(X)
11. upto(n + 1) ∈ bag(ℕ)
12. IsMonoid(|r|;+r;0)
13. #(x) = n ∈ ℤ
14. IsMonoid(|r|;+r;0)
15. Comm(|r|;+r)
16. p : {x@0:{p:bag(X) × bag(X)| p ↓∈ bag-partitions(eq;x)} | x@0 ↓∈ bag-partitions(eq;x)} 
⊢ ∃k:ℤ [(k ↓∈ upto(n + 1) ∧ (↑((#(fst(p)) =z k) ∧b (#(snd(p)) =z n - k))))]
BY
{ (RepeatFor 2 (DVar `p') THEN (With ⌜#(fst(p))⌝ (D 0)⋅ THEN Auto) THEN Auto) }

1
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. n : ℕ
6. f : PowerSeries(X;r)
7. g : PowerSeries(X;r)
8. Assoc(|r|;+r)
9. Comm(|r|;+r)
10. x : bag(X)
11. upto(n + 1) ∈ bag(ℕ)
12. IsMonoid(|r|;+r;0)
13. #(x) = n ∈ ℤ
14. IsMonoid(|r|;+r;0)
15. Comm(|r|;+r)
16. p : bag(X) × bag(X)
17. p ↓∈ bag-partitions(eq;x)
18. p ↓∈ bag-partitions(eq;x)
⊢ #(fst(p)) ↓∈ upto(n + 1)

2
1. X : Type
2. valueall-type(X)
3. eq : EqDecider(X)
4. r : CRng
5. n : ℕ
6. f : PowerSeries(X;r)
7. g : PowerSeries(X;r)
8. Assoc(|r|;+r)
9. Comm(|r|;+r)
10. x : bag(X)
11. upto(n + 1) ∈ bag(ℕ)
12. IsMonoid(|r|;+r;0)
13. #(x) = n ∈ ℤ
14. IsMonoid(|r|;+r;0)
15. Comm(|r|;+r)
16. p : bag(X) × bag(X)
17. p ↓∈ bag-partitions(eq;x)
18. p ↓∈ bag-partitions(eq;x)
19. #(fst(p)) ↓∈ upto(n + 1)
20. #(fst(p)) = #(fst(p)) ∈ ℤ
⊢ #(snd(p)) = (n - #(fst(p))) ∈ ℤ

---

Latex:

---

Latex:

1.  X  :  Type
2.  valueall-type(X)
3.  eq  :  EqDecider(X)
4.  r  :  CRng
5.  n  :  \mBbbN{}
6.  f  :  PowerSeries(X;r)
7.  g  :  PowerSeries(X;r)
8.  Assoc(|r|;+r)
9.  Comm(|r|;+r)
10.  x  :  bag(X)
11.  upto(n  +  1)  \mmember{}  bag(\mBbbN{})
12.  IsMonoid(|r|;+r;0)
13.  \#(x)  =  n
14.  IsMonoid(|r|;+r;0)
15.  Comm(|r|;+r)
16.  p  :  \{x@0:\{p:bag(X)  \mtimes{}  bag(X)|  p  \mdownarrow{}\mmember{}  bag-partitions(eq;x)\}  |  x@0  \mdownarrow{}\mmember{}  bag-partitions(eq;x)\} 
\mvdash{}  \mexists{}k:\mBbbZ{}  [(k  \mdownarrow{}\mmember{}  upto(n  +  1)  \mwedge{}  (\muparrow{}((\#(fst(p))  =\msubz{}  k)  \mwedge{}\msubb{}  (\#(snd(p))  =\msubz{}  n  -  k))))]


By

---

Latex:
(RepeatFor  2  (DVar  `p')  THEN  (With  \mkleeneopen{}\#(fst(p))\mkleeneclose{}  (D  0)\mcdot{}  THEN  Auto)  THEN  Auto)

---

Home Index