---

Step * 1 2 of Lemma qlog-lemma


1. e : {e:ℚ| 0 < e} 
2. q : {q:ℚ| (e ≤ q) ∧ q < 1} 
3. [n] : ℕ
4. ∀[m:ℕn]
     ∀k:ℕ+. ∀r:{r:ℚ| (e ≤ r) ∧ (r = q ↑ k ∈ ℚ) ∧ q ↑ m * r < e} .
       {nz:ℕ × ℚ| let n,z = nz in (z = q ↑ n ∈ ℚ) ∧ (e ≤ z) ∧ z * z < e} 
5. k : ℕ+
6. r : {r:ℚ| (e ≤ r) ∧ (r = q ↑ k ∈ ℚ) ∧ q ↑ n * r < e} 
7. m : ℤ
8. m = (2 * k) ∈ ℤ
9. rr : ℚ
10. rr = (r * r) ∈ ℚ
11. ¬rr < e
⊢ {nz:ℕ × ℚ| let n,z = nz in (z = q ↑ n ∈ ℚ) ∧ (e ≤ z) ∧ z * z < e} 
BY
{ Assert ⌜n - k ∈ ℕn⌝⋅ }

1
.....assertion..... 
1. e : {e:ℚ| 0 < e} 
2. q : {q:ℚ| (e ≤ q) ∧ q < 1} 
3. [n] : ℕ
4. ∀[m:ℕn]
     ∀k:ℕ+. ∀r:{r:ℚ| (e ≤ r) ∧ (r = q ↑ k ∈ ℚ) ∧ q ↑ m * r < e} .
       {nz:ℕ × ℚ| let n,z = nz in (z = q ↑ n ∈ ℚ) ∧ (e ≤ z) ∧ z * z < e} 
5. k : ℕ+
6. r : {r:ℚ| (e ≤ r) ∧ (r = q ↑ k ∈ ℚ) ∧ q ↑ n * r < e} 
7. m : ℤ
8. m = (2 * k) ∈ ℤ
9. rr : ℚ
10. rr = (r * r) ∈ ℚ
11. ¬rr < e
⊢ n - k ∈ ℕn

2
1. e : {e:ℚ| 0 < e} 
2. q : {q:ℚ| (e ≤ q) ∧ q < 1} 
3. [n] : ℕ
4. ∀[m:ℕn]
     ∀k:ℕ+. ∀r:{r:ℚ| (e ≤ r) ∧ (r = q ↑ k ∈ ℚ) ∧ q ↑ m * r < e} .
       {nz:ℕ × ℚ| let n,z = nz in (z = q ↑ n ∈ ℚ) ∧ (e ≤ z) ∧ z * z < e} 
5. k : ℕ+
6. r : {r:ℚ| (e ≤ r) ∧ (r = q ↑ k ∈ ℚ) ∧ q ↑ n * r < e} 
7. m : ℤ
8. m = (2 * k) ∈ ℤ
9. rr : ℚ
10. rr = (r * r) ∈ ℚ
11. ¬rr < e
12. n - k ∈ ℕn
⊢ {nz:ℕ × ℚ| let n,z = nz in (z = q ↑ n ∈ ℚ) ∧ (e ≤ z) ∧ z * z < e} 

---

Latex:

---

Latex:

1.  e  :  \{e:\mBbbQ{}|  0  <  e\} 
2.  q  :  \{q:\mBbbQ{}|  (e  \mleq{}  q)  \mwedge{}  q  <  1\} 
3.  [n]  :  \mBbbN{}
4.  \mforall{}[m:\mBbbN{}n]
          \mforall{}k:\mBbbN{}\msupplus{}.  \mforall{}r:\{r:\mBbbQ{}|  (e  \mleq{}  r)  \mwedge{}  (r  =  q  \muparrow{}  k)  \mwedge{}  q  \muparrow{}  m  *  r  <  e\}  .
              \{nz:\mBbbN{}  \mtimes{}  \mBbbQ{}|  let  n,z  =  nz  in  (z  =  q  \muparrow{}  n)  \mwedge{}  (e  \mleq{}  z)  \mwedge{}  z  *  z  <  e\} 
5.  k  :  \mBbbN{}\msupplus{}
6.  r  :  \{r:\mBbbQ{}|  (e  \mleq{}  r)  \mwedge{}  (r  =  q  \muparrow{}  k)  \mwedge{}  q  \muparrow{}  n  *  r  <  e\} 
7.  m  :  \mBbbZ{}
8.  m  =  (2  *  k)
9.  rr  :  \mBbbQ{}
10.  rr  =  (r  *  r)
11.  \mneg{}rr  <  e
\mvdash{}  \{nz:\mBbbN{}  \mtimes{}  \mBbbQ{}|  let  n,z  =  nz  in  (z  =  q  \muparrow{}  n)  \mwedge{}  (e  \mleq{}  z)  \mwedge{}  z  *  z  <  e\} 


By

---

Latex:
Assert  \mkleeneopen{}n  -  k  \mmember{}  \mBbbN{}n\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index