---

Step * 2 1 1 of Lemma adjunction-monad_wf


1. A : SmallCategory
2. B : SmallCategory
3. F : Functor(A;B)
4. G : Functor(B;A)
5. a1 : nat-trans(B;B;functor-comp(G;F);1)
6. a2 : nat-trans(A;A;1;functor-comp(F;G))
7. ∀d:cat-ob(A)
     ((cat-comp(B) (F d) (F (G (F d))) (F d) (F d (G (F d)) (a2 d)) (a1 (F d)))
     = (cat-id(B) (F d))
     ∈ (cat-arrow(B) (F d) (F d)))
8. ∀c:cat-ob(B)
     ((cat-comp(A) (G c) (G (F (G c))) (G c) (a2 (G c)) (G (F (G c)) c (a1 c)))
     = (cat-id(A) (G c))
     ∈ (cat-arrow(A) (G c) (G c)))
9. X : cat-ob(A)@i
⊢ (cat-comp(A) (G (F (G (F (G (F X)))))) (G (F (G (F X)))) (G (F X)) 
   (G (F (G (F (G (F X))))) (F (G (F X))) (a1 (F (G (F X))))) 
   (G (F (G (F X))) (F X) (a1 (F X))))
= (cat-comp(A) (G (F (G (F (G (F X)))))) (G (F (G (F X)))) (G (F X)) 
   (G (F (G (F (G (F X))))) (F (G (F X))) (F (G (F (G (F X)))) (G (F X)) (G (F (G (F X))) (F X) (a1 (F X))))) 
   (G (F (G (F X))) (F X) (a1 (F X))))
∈ (cat-arrow(A) (G (F (G (F (G (F X)))))) (G (F X)))
BY
{ ((DVar `a2' THEN DVar `a1') THEN All (RepUR ``functor-comp id_functor``)) }

1
1. A : SmallCategory
2. B : SmallCategory
3. F : Functor(A;B)
4. G : Functor(B;A)
5. a1 : A:cat-ob(B) ⟶ (cat-arrow(B) (F (G A)) A)
6. ∀A,B@0:cat-ob(B). ∀g:cat-arrow(B) A B@0.
     ((cat-comp(B) (F (G A)) A B@0 (a1 A) g)
     = (cat-comp(B) (F (G A)) (F (G B@0)) B@0 (F (G A) (G B@0) (G A B@0 g)) (a1 B@0))
     ∈ (cat-arrow(B) (F (G A)) B@0))
7. a2 : A@0:cat-ob(A) ⟶ (cat-arrow(A) A@0 (G (F A@0)))
8. ∀A@0,B:cat-ob(A). ∀g:cat-arrow(A) A@0 B.
     ((cat-comp(A) A@0 (G (F A@0)) (G (F B)) (a2 A@0) (G (F A@0) (F B) (F A@0 B g)))
     = (cat-comp(A) A@0 B (G (F B)) g (a2 B))
     ∈ (cat-arrow(A) A@0 (G (F B))))
9. ∀d:cat-ob(A)
     ((cat-comp(B) (F d) (F (G (F d))) (F d) (F d (G (F d)) (a2 d)) (a1 (F d)))
     = (cat-id(B) (F d))
     ∈ (cat-arrow(B) (F d) (F d)))
10. ∀c:cat-ob(B)
      ((cat-comp(A) (G c) (G (F (G c))) (G c) (a2 (G c)) (G (F (G c)) c (a1 c)))
      = (cat-id(A) (G c))
      ∈ (cat-arrow(A) (G c) (G c)))
11. X : cat-ob(A)@i
⊢ (cat-comp(A) (G (F (G (F (G (F X)))))) (G (F (G (F X)))) (G (F X)) 
   (G (F (G (F (G (F X))))) (F (G (F X))) (a1 (F (G (F X))))) 
   (G (F (G (F X))) (F X) (a1 (F X))))
= (cat-comp(A) (G (F (G (F (G (F X)))))) (G (F (G (F X)))) (G (F X)) 
   (G (F (G (F (G (F X))))) (F (G (F X))) (F (G (F (G (F X)))) (G (F X)) (G (F (G (F X))) (F X) (a1 (F X))))) 
   (G (F (G (F X))) (F X) (a1 (F X))))
∈ (cat-arrow(A) (G (F (G (F (G (F X)))))) (G (F X)))

---

Latex:

---

Latex:

1.  A  :  SmallCategory
2.  B  :  SmallCategory
3.  F  :  Functor(A;B)
4.  G  :  Functor(B;A)
5.  a1  :  nat-trans(B;B;functor-comp(G;F);1)
6.  a2  :  nat-trans(A;A;1;functor-comp(F;G))
7.  \mforall{}d:cat-ob(A)
          ((cat-comp(B)  (F  d)  (F  (G  (F  d)))  (F  d)  (F  d  (G  (F  d))  (a2  d))  (a1  (F  d)))  =  (cat-id(B)  (F  d)))
8.  \mforall{}c:cat-ob(B)
          ((cat-comp(A)  (G  c)  (G  (F  (G  c)))  (G  c)  (a2  (G  c))  (G  (F  (G  c))  c  (a1  c)))  =  (cat-id(A)  (G  c)))
9.  X  :  cat-ob(A)@i
\mvdash{}  (cat-comp(A)  (G  (F  (G  (F  (G  (F  X))))))  (G  (F  (G  (F  X))))  (G  (F  X)) 
      (G  (F  (G  (F  (G  (F  X)))))  (F  (G  (F  X)))  (a1  (F  (G  (F  X))))) 
      (G  (F  (G  (F  X)))  (F  X)  (a1  (F  X))))
=  (cat-comp(A)  (G  (F  (G  (F  (G  (F  X))))))  (G  (F  (G  (F  X))))  (G  (F  X)) 
      (G  (F  (G  (F  (G  (F  X)))))  (F  (G  (F  X))) 
        (F  (G  (F  (G  (F  X))))  (G  (F  X))  (G  (F  (G  (F  X)))  (F  X)  (a1  (F  X))))) 
      (G  (F  (G  (F  X)))  (F  X)  (a1  (F  X))))


By

---

Latex:
((DVar  `a2'  THEN  DVar  `a1')  THEN  All  (RepUR  ``functor-comp  id\_functor``))

---

Home Index