---

Step * 2 1 1 1 1 1 1 of Lemma padic-ring_wf


1. p : {2...}
2. ℤ(p) ∈ RngSig
3. ∀[x,y,z:p-adics(p)].  (x + y + z = x + y + z ∈ p-adics(p))
4. ∀[x:p-adics(p)]. ((x + 0(p) = x ∈ p-adics(p)) ∧ (0(p) + x = x ∈ p-adics(p)))
5. ∀[x:p-adics(p)]. ((x + -(x) = 0(p) ∈ p-adics(p)) ∧ (-(x) + x = 0(p) ∈ p-adics(p)))
6. ∀[x,y,z:p-adics(p)].  (x * y * z = x * y * z ∈ p-adics(p))
7. ∀[x:p-adics(p)]. ((x * 1(p) = x ∈ p-adics(p)) ∧ (1(p) * x = x ∈ p-adics(p)))
8. ∀[a,x,y:p-adics(p)].  ((a * x + y = a * x + a * y ∈ p-adics(p)) ∧ (x + y * a = x * a + y * a ∈ p-adics(p)))
9. ∀[x,y:p-adics(p)].  (x * y = y * x ∈ p-adics(p))
10. ∀a,b:basic-padic(p).  bpa-equiv(p;bpa-mul(p;a;b);pa-mul(p;a;b))
11. ∀a,b:basic-padic(p).  bpa-equiv(p;bpa-add(p;a;b);pa-add(p;a;b))
12. x : padic(p)
13. y : padic(p)
14. z : padic(p)
15. X1 : ℕ
16. X2 : p-adics(p)
17. Y1 : ℕ
18. Y2 : p-adics(p)
19. Z1 : ℕ
20. Z2 : p-adics(p)
21. M : ℤ
22. imax(Y1;Z1) = M ∈ ℤ
23. (Y1 ≤ M) ∧ (Z1 ≤ M)
24. N : ℤ
25. imax(X1;Y1) = N ∈ ℤ
26. (X1 ≤ N) ∧ (Y1 ≤ N)
27. K : ℤ
28. imax(X1;M) = K ∈ ℤ
29. (X1 ≤ K) ∧ (M ≤ K)
30. J : ℤ
31. imax(N;Z1) = J ∈ ℤ
32. (N ≤ J) ∧ (Z1 ≤ J)
⊢ p^(J + (K - X1))(p) * X2 + p^((J + (K - M)) + (M - Y1))(p) * Y2 + p^((J + (K - M)) + (M - Z1))(p) * Z2
= p^((K + (J - N)) + (N - X1))(p) * X2 + p^((K + (J - N)) + (N - Y1))(p) * Y2 + p^(K + (J - Z1))(p) * Z2
∈ p-adics(p)
BY
{ (RepeatFor 4 (EqCDA) THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  p  :  \{2...\}
2.  \mBbbZ{}(p)  \mmember{}  RngSig
3.  \mforall{}[x,y,z:p-adics(p)].    (x  +  y  +  z  =  x  +  y  +  z)
4.  \mforall{}[x:p-adics(p)].  ((x  +  0(p)  =  x)  \mwedge{}  (0(p)  +  x  =  x))
5.  \mforall{}[x:p-adics(p)].  ((x  +  -(x)  =  0(p))  \mwedge{}  (-(x)  +  x  =  0(p)))
6.  \mforall{}[x,y,z:p-adics(p)].    (x  *  y  *  z  =  x  *  y  *  z)
7.  \mforall{}[x:p-adics(p)].  ((x  *  1(p)  =  x)  \mwedge{}  (1(p)  *  x  =  x))
8.  \mforall{}[a,x,y:p-adics(p)].    ((a  *  x  +  y  =  a  *  x  +  a  *  y)  \mwedge{}  (x  +  y  *  a  =  x  *  a  +  y  *  a))
9.  \mforall{}[x,y:p-adics(p)].    (x  *  y  =  y  *  x)
10.  \mforall{}a,b:basic-padic(p).    bpa-equiv(p;bpa-mul(p;a;b);pa-mul(p;a;b))
11.  \mforall{}a,b:basic-padic(p).    bpa-equiv(p;bpa-add(p;a;b);pa-add(p;a;b))
12.  x  :  padic(p)
13.  y  :  padic(p)
14.  z  :  padic(p)
15.  X1  :  \mBbbN{}
16.  X2  :  p-adics(p)
17.  Y1  :  \mBbbN{}
18.  Y2  :  p-adics(p)
19.  Z1  :  \mBbbN{}
20.  Z2  :  p-adics(p)
21.  M  :  \mBbbZ{}
22.  imax(Y1;Z1)  =  M
23.  (Y1  \mleq{}  M)  \mwedge{}  (Z1  \mleq{}  M)
24.  N  :  \mBbbZ{}
25.  imax(X1;Y1)  =  N
26.  (X1  \mleq{}  N)  \mwedge{}  (Y1  \mleq{}  N)
27.  K  :  \mBbbZ{}
28.  imax(X1;M)  =  K
29.  (X1  \mleq{}  K)  \mwedge{}  (M  \mleq{}  K)
30.  J  :  \mBbbZ{}
31.  imax(N;Z1)  =  J
32.  (N  \mleq{}  J)  \mwedge{}  (Z1  \mleq{}  J)
\mvdash{}  p\^{}(J  +  (K  -  X1))(p)  *  X2  +  p\^{}((J  +  (K  -  M))  +  (M  -  Y1))(p)  *  Y2  +  p\^{}((J  +  (K  -  M))
+  (M  -  Z1))(p)  *  Z2
=  p\^{}((K  +  (J  -  N))  +  (N  -  X1))(p)  *  X2  +  p\^{}((K  +  (J  -  N))  +  (N  -  Y1))(p)  *  Y2  +  p\^{}(K
    +  (J  -  Z1))(p)  *  Z2


By

---

Latex:
(RepeatFor  4  (EqCDA)  THEN  Auto)

---

Home Index