---

Step * 2 3 1 of Lemma padic-ring_wf


1. p : {2...}
2. ℤ(p) ∈ RngSig
3. ∀[x,y,z:p-adics(p)].  (x + y + z = x + y + z ∈ p-adics(p))
4. ∀[x:p-adics(p)]. ((x + 0(p) = x ∈ p-adics(p)) ∧ (0(p) + x = x ∈ p-adics(p)))
5. ∀[x:p-adics(p)]. ((x + -(x) = 0(p) ∈ p-adics(p)) ∧ (-(x) + x = 0(p) ∈ p-adics(p)))
6. ∀[x,y,z:p-adics(p)].  (x * y * z = x * y * z ∈ p-adics(p))
7. ∀[x:p-adics(p)]. ((x * 1(p) = x ∈ p-adics(p)) ∧ (1(p) * x = x ∈ p-adics(p)))
8. ∀[a,x,y:p-adics(p)].  ((a * x + y = a * x + a * y ∈ p-adics(p)) ∧ (x + y * a = x * a + y * a ∈ p-adics(p)))
9. ∀[x,y:p-adics(p)].  (x * y = y * x ∈ p-adics(p))
10. ∀a,b:basic-padic(p).  bpa-equiv(p;bpa-mul(p;a;b);pa-mul(p;a;b))
11. ∀a,b:basic-padic(p).  bpa-equiv(p;bpa-add(p;a;b);pa-add(p;a;b))
12. x : padic(p)
13. y : padic(p)
14. z : padic(p)
⊢ bpa-equiv(p;bpa-mul(p;x;bpa-mul(p;y;z));bpa-mul(p;bpa-mul(p;x;y);z))
BY
{ ((BLemma `bpa-equiv_weakening` THEN Auto)
   THEN (GenConcl ⌜x = X ∈ basic-padic(p)⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜y = Y ∈ basic-padic(p)⌝⋅ THENA Auto)
   THEN (GenConcl ⌜z = Z ∈ basic-padic(p)⌝⋅ THENA Auto)
   THEN All Thin) }

1
1. p : {2...}
2. X : basic-padic(p)@i
3. Y : basic-padic(p)@i
4. Z : basic-padic(p)@i
⊢ bpa-mul(p;bpa-mul(p;X;Y);Z) = bpa-mul(p;X;bpa-mul(p;Y;Z)) ∈ basic-padic(p)

---

Latex:

---

Latex:

1.  p  :  \{2...\}
2.  \mBbbZ{}(p)  \mmember{}  RngSig
3.  \mforall{}[x,y,z:p-adics(p)].    (x  +  y  +  z  =  x  +  y  +  z)
4.  \mforall{}[x:p-adics(p)].  ((x  +  0(p)  =  x)  \mwedge{}  (0(p)  +  x  =  x))
5.  \mforall{}[x:p-adics(p)].  ((x  +  -(x)  =  0(p))  \mwedge{}  (-(x)  +  x  =  0(p)))
6.  \mforall{}[x,y,z:p-adics(p)].    (x  *  y  *  z  =  x  *  y  *  z)
7.  \mforall{}[x:p-adics(p)].  ((x  *  1(p)  =  x)  \mwedge{}  (1(p)  *  x  =  x))
8.  \mforall{}[a,x,y:p-adics(p)].    ((a  *  x  +  y  =  a  *  x  +  a  *  y)  \mwedge{}  (x  +  y  *  a  =  x  *  a  +  y  *  a))
9.  \mforall{}[x,y:p-adics(p)].    (x  *  y  =  y  *  x)
10.  \mforall{}a,b:basic-padic(p).    bpa-equiv(p;bpa-mul(p;a;b);pa-mul(p;a;b))
11.  \mforall{}a,b:basic-padic(p).    bpa-equiv(p;bpa-add(p;a;b);pa-add(p;a;b))
12.  x  :  padic(p)
13.  y  :  padic(p)
14.  z  :  padic(p)
\mvdash{}  bpa-equiv(p;bpa-mul(p;x;bpa-mul(p;y;z));bpa-mul(p;bpa-mul(p;x;y);z))


By

---

Latex:
((BLemma  `bpa-equiv\_weakening`  THEN  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}x  =  X\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}y  =  Y\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}z  =  Z\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  All  Thin)

---

Home Index