---

Step * 2 4 2 of Lemma padic-ring_wf


1. p : {2...}
2. ℤ(p) ∈ RngSig
3. ∀[x,y,z:p-adics(p)].  (x + y + z = x + y + z ∈ p-adics(p))
4. ∀[x:p-adics(p)]. ((x + 0(p) = x ∈ p-adics(p)) ∧ (0(p) + x = x ∈ p-adics(p)))
5. ∀[x:p-adics(p)]. ((x + -(x) = 0(p) ∈ p-adics(p)) ∧ (-(x) + x = 0(p) ∈ p-adics(p)))
6. ∀[x,y,z:p-adics(p)].  (x * y * z = x * y * z ∈ p-adics(p))
7. ∀[x:p-adics(p)]. ((x * 1(p) = x ∈ p-adics(p)) ∧ (1(p) * x = x ∈ p-adics(p)))
8. ∀[a,x,y:p-adics(p)].  ((a * x + y = a * x + a * y ∈ p-adics(p)) ∧ (x + y * a = x * a + y * a ∈ p-adics(p)))
9. ∀[x,y:p-adics(p)].  (x * y = y * x ∈ p-adics(p))
10. ∀a,b:basic-padic(p).  bpa-equiv(p;bpa-mul(p;a;b);pa-mul(p;a;b))
11. ∀a,b:basic-padic(p).  bpa-equiv(p;bpa-add(p;a;b);pa-add(p;a;b))
12. x : padic(p)
13. pa-mul(p;x;1(p)) = x ∈ padic(p)
⊢ pa-mul(p;1(p);x) = x ∈ padic(p)
BY
{ (RepUR ``pa-mul`` 0
   THEN Subst' bpa-mul(p;1(p);x) = x ∈ basic-padic(p) 0
   THEN Auto
   THEN (GenConcl ⌜x = X ∈ basic-padic(p)⌝⋅ THENA Auto)
   THEN All Thin
   THEN D -1
   THEN RepUR ``bpa-mul basic-padic`` 0
   THEN EqCD
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  p  :  \{2...\}
2.  \mBbbZ{}(p)  \mmember{}  RngSig
3.  \mforall{}[x,y,z:p-adics(p)].    (x  +  y  +  z  =  x  +  y  +  z)
4.  \mforall{}[x:p-adics(p)].  ((x  +  0(p)  =  x)  \mwedge{}  (0(p)  +  x  =  x))
5.  \mforall{}[x:p-adics(p)].  ((x  +  -(x)  =  0(p))  \mwedge{}  (-(x)  +  x  =  0(p)))
6.  \mforall{}[x,y,z:p-adics(p)].    (x  *  y  *  z  =  x  *  y  *  z)
7.  \mforall{}[x:p-adics(p)].  ((x  *  1(p)  =  x)  \mwedge{}  (1(p)  *  x  =  x))
8.  \mforall{}[a,x,y:p-adics(p)].    ((a  *  x  +  y  =  a  *  x  +  a  *  y)  \mwedge{}  (x  +  y  *  a  =  x  *  a  +  y  *  a))
9.  \mforall{}[x,y:p-adics(p)].    (x  *  y  =  y  *  x)
10.  \mforall{}a,b:basic-padic(p).    bpa-equiv(p;bpa-mul(p;a;b);pa-mul(p;a;b))
11.  \mforall{}a,b:basic-padic(p).    bpa-equiv(p;bpa-add(p;a;b);pa-add(p;a;b))
12.  x  :  padic(p)
13.  pa-mul(p;x;1(p))  =  x
\mvdash{}  pa-mul(p;1(p);x)  =  x


By

---

Latex:
(RepUR  ``pa-mul``  0
  THEN  Subst'  bpa-mul(p;1(p);x)  =  x  0
  THEN  Auto
  THEN  (GenConcl  \mkleeneopen{}x  =  X\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  All  Thin
  THEN  D  -1
  THEN  RepUR  ``bpa-mul  basic-padic``  0
  THEN  EqCD
  THEN  Auto)

---

Home Index