---

Step * 1 1 4 of Lemma bar26_4a_imp_fan26_6a


1. g: List  . R,A: List  .
     (spr(g)
      ((g []) = 0)
      (a: List. (((g a) = 0)  Dec(R a)))
      (f:  . ((x:. ((g mklist(x;f)) = 0))  (x:. (R mklist(x;f)))))
      (a: List. (((g a) = 0)  (R a)  (A a)))
      (a: List. (((g a) = 0)  (s:. (((g (a @ [s])) = 0)  (A (a @ [s]))))  (A a)))
      (A []))@i'
2. B :  List  @i
3. R :  List  @i'
4. a: List. Dec(R a)@i
5. f:fin_spr(B). x:. (R mklist(x;f))@i
6. a :  List@i
7. if (a  fspr(B)) then 0 else 1 fi  = 0@i
8. s:
     ((if (a @ [s]  fspr(B)) then 0 else 1 fi  = 0)
      (z:
          f:  
            ((t:. ((f t)  (B ((a @ [s]) @ mklist(t;f)))))  (x:. ((x  z)  (R ((a @ [s]) @ mklist(x;f))))))))@i
 z:. f:  . ((t:. ((f t)  (B (a @ mklist(t;f)))))  (x:. ((x  z)  (R (a @ mklist(x;f))))))
BY
{ ((FLemma `boolean_as_01` [(-2)] THENA Auto)
   THEN (Assert s:
                  ((s  (B a))
                   (z:
                       f:  
                         ((t:. ((f t)  (B ((a @ [s]) @ mklist(t;f)))))
                          (x:. ((x  z)  (R ((a @ [s]) @ mklist(x;f)))))))) BY
               (Auto THEN skip{follows from 7 and 8 and unfolding of list-in-fin}))
   ) }

1
1. g: List  . R,A: List  .
     (spr(g)
      ((g []) = 0)
      (a: List. (((g a) = 0)  Dec(R a)))
      (f:  . ((x:. ((g mklist(x;f)) = 0))  (x:. (R mklist(x;f)))))
      (a: List. (((g a) = 0)  (R a)  (A a)))
      (a: List. (((g a) = 0)  (s:. (((g (a @ [s])) = 0)  (A (a @ [s]))))  (A a)))
      (A []))@i'
2. B :  List  @i
3. R :  List  @i'
4. a: List. Dec(R a)@i
5. f:fin_spr(B). x:. (R mklist(x;f))@i
6. a :  List@i
7. if (a  fspr(B)) then 0 else 1 fi  = 0@i
8. s:
     ((if (a @ [s]  fspr(B)) then 0 else 1 fi  = 0)
      (z:
          f:  
            ((t:. ((f t)  (B ((a @ [s]) @ mklist(t;f)))))  (x:. ((x  z)  (R ((a @ [s]) @ mklist(x;f))))))))@i
9. (a  fspr(B))
10. s : @i
11. s  (B a)@i
 z:
   f:  . ((t:. ((f t)  (B ((a @ [s]) @ mklist(t;f)))))  (x:. ((x  z)  (R ((a @ [s]) @ mklist(x;f))))))

2
1. g: List  . R,A: List  .
     (spr(g)
      ((g []) = 0)
      (a: List. (((g a) = 0)  Dec(R a)))
      (f:  . ((x:. ((g mklist(x;f)) = 0))  (x:. (R mklist(x;f)))))
      (a: List. (((g a) = 0)  (R a)  (A a)))
      (a: List. (((g a) = 0)  (s:. (((g (a @ [s])) = 0)  (A (a @ [s]))))  (A a)))
      (A []))@i'
2. B :  List  @i
3. R :  List  @i'
4. a: List. Dec(R a)@i
5. f:fin_spr(B). x:. (R mklist(x;f))@i
6. a :  List@i
7. if (a  fspr(B)) then 0 else 1 fi  = 0@i
8. s:
     ((if (a @ [s]  fspr(B)) then 0 else 1 fi  = 0)
      (z:
          f:  
            ((t:. ((f t)  (B ((a @ [s]) @ mklist(t;f)))))  (x:. ((x  z)  (R ((a @ [s]) @ mklist(x;f))))))))@i
9. (a  fspr(B))
10. s:
      ((s  (B a))
       (z:
           f:  
             ((t:. ((f t)  (B ((a @ [s]) @ mklist(t;f)))))  (x:. ((x  z)  (R ((a @ [s]) @ mklist(x;f))))))))
 z:. f:  . ((t:. ((f t)  (B (a @ mklist(t;f)))))  (x:. ((x  z)  (R (a @ mklist(x;f))))))



1.  \mforall{}g:\mBbbN{}  List  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  \mforall{}R,A:\mBbbN{}  List  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}.
          (spr(g)
          {}\mRightarrow{}  ((g  [])  =  0)
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:\mBbbN{}  List.  (((g  a)  =  0)  {}\mRightarrow{}  Dec(R  a)))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  ((\mforall{}x:\mBbbN{}.  ((g  mklist(x;f))  =  0))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\mBbbN{}.  (R  mklist(x;f)))))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:\mBbbN{}  List.  (((g  a)  =  0)  {}\mRightarrow{}  (R  a)  {}\mRightarrow{}  (A  a)))
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:\mBbbN{}  List.  (((g  a)  =  0)  {}\mRightarrow{}  (\mforall{}s:\mBbbN{}.  (((g  (a  @  [s]))  =  0)  {}\mRightarrow{}  (A  (a  @  [s]))))  {}\mRightarrow{}  (A  a)))
          {}\mRightarrow{}  (A  []))@i'
2.  B  :  \mBbbN{}  List  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}@i
3.  R  :  \mBbbN{}  List  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}@i'
4.  \mforall{}a:\mBbbN{}  List.  Dec(R  a)@i
5.  \mforall{}f:fin\_spr(B).  \mexists{}x:\mBbbN{}.  (R  mklist(x;f))@i
6.  a  :  \mBbbN{}  List@i
7.  if  (a  \mmember{}  fspr(B))  then  0  else  1  fi    =  0@i
8.  \mforall{}s:\mBbbN{}
          ((if  (a  @  [s]  \mmember{}  fspr(B))  then  0  else  1  fi    =  0)
          {}\mRightarrow{}  (\mexists{}z:\mBbbN{}
                    \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
                        ((\mforall{}t:\mBbbN{}.  ((f  t)  \mleq{}  (B  ((a  @  [s])  @  mklist(t;f)))))
                        {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\mBbbN{}.  ((x  \mleq{}  z)  \mwedge{}  (R  ((a  @  [s])  @  mklist(x;f))))))))@i
\mvdash{}  \mexists{}z:\mBbbN{}
      \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}.  ((\mforall{}t:\mBbbN{}.  ((f  t)  \mleq{}  (B  (a  @  mklist(t;f)))))  {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\mBbbN{}.  ((x  \mleq{}  z)  \mwedge{}  (R  (a  @  mklist(x;f))))))


By

((FLemma  `boolean\_as\_01`  [(-2)]  THENA  Auto)
  THEN  (Assert  \mforall{}s:\mBbbN{}
                                ((s  \mleq{}  (B  a))
                                {}\mRightarrow{}  (\mexists{}z:\mBbbN{}
                                          \mforall{}f:\mBbbN{}  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
                                              ((\mforall{}t:\mBbbN{}.  ((f  t)  \mleq{}  (B  ((a  @  [s])  @  mklist(t;f)))))
                                              {}\mRightarrow{}  (\mexists{}x:\mBbbN{}.  ((x  \mleq{}  z)  \mwedge{}  (R  ((a  @  [s])  @  mklist(x;f))))))))  BY
                          (Auto  THEN  skip\{follows  from  7  and  8  and  unfolding  of  list-in-fin\}))
  )



Home Index