---

Step * 1 2 1 2 1 of Lemma consensus-ts4-ref-map

.....equality..... 
1. V : Type
2. ∃v,v':V. (¬(v = v' ∈ V))@i
3. ∀v,v':V.  Dec(v = v' ∈ V)@i
4. A : Id List@i
5. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
6. two-intersection(A;W)@i
7. F : s:ConsensusState ⟶ i:ℤ ⟶ consensus-state3(V)
8. ∀s:ConsensusState. ∀i:ℤ.
     (((F s i) = INITIAL ∈ consensus-state3(V)
      ⇐⇒ ∃v,v':V. ((¬(v = v' ∈ V)) ∧ in state s, inning i could commit v  ∧ in state s, inning i could commit v' ))
     ∧ ((F s i) = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V) ⇐⇒ ¬(∃v:V. in state s, inning i could commit v ))
     ∧ (∀v:V
          (((F s i) = COMMITED[v] ∈ consensus-state3(V) ⇐⇒ in state s, inning i has committed v)
          ∧ ((F s i) = CONSIDERING[v] ∈ consensus-state3(V)
            ⇐⇒ in state s, inning i could commit v 
                ∧ (¬in state s, inning i has committed v)
                ∧ (∀v':V. (in state s, inning i could commit v'  ⇒ (v' = v ∈ V)))))))
9. N : s:ConsensusState ⟶ ℕ
10. ∀s:ConsensusState. ∀i:ℕ.  (i < N s ⇐⇒ ∃a:{a:Id| (a ∈ A)} . (i ≤ Inning(s;a)))
11. s : ConsensusState@i
12. ∀i:ℕ. (i < N s ⇐⇒ ∃a:{a:Id| (a ∈ A)} . (i ≤ Inning(s;a)))
13. i : ℕ@i
14. i < N s ⇐⇒ ∃a:{a:Id| (a ∈ A)} . (i ≤ Inning(s;a))
⊢ ||map(λi.(F s i);upto(N s))|| ~ N s
BY
{ (RWO "length-map" 0 THENA Auto) }

1
1. V : Type
2. ∃v,v':V. (¬(v = v' ∈ V))@i
3. ∀v,v':V.  Dec(v = v' ∈ V)@i
4. A : Id List@i
5. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
6. two-intersection(A;W)@i
7. F : s:ConsensusState ⟶ i:ℤ ⟶ consensus-state3(V)
8. ∀s:ConsensusState. ∀i:ℤ.
     (((F s i) = INITIAL ∈ consensus-state3(V)
      ⇐⇒ ∃v,v':V. ((¬(v = v' ∈ V)) ∧ in state s, inning i could commit v  ∧ in state s, inning i could commit v' ))
     ∧ ((F s i) = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V) ⇐⇒ ¬(∃v:V. in state s, inning i could commit v ))
     ∧ (∀v:V
          (((F s i) = COMMITED[v] ∈ consensus-state3(V) ⇐⇒ in state s, inning i has committed v)
          ∧ ((F s i) = CONSIDERING[v] ∈ consensus-state3(V)
            ⇐⇒ in state s, inning i could commit v 
                ∧ (¬in state s, inning i has committed v)
                ∧ (∀v':V. (in state s, inning i could commit v'  ⇒ (v' = v ∈ V)))))))
9. N : s:ConsensusState ⟶ ℕ
10. ∀s:ConsensusState. ∀i:ℕ.  (i < N s ⇐⇒ ∃a:{a:Id| (a ∈ A)} . (i ≤ Inning(s;a)))
11. s : ConsensusState@i
12. ∀i:ℕ. (i < N s ⇐⇒ ∃a:{a:Id| (a ∈ A)} . (i ≤ Inning(s;a)))
13. i : ℕ@i
14. i < N s ⇐⇒ ∃a:{a:Id| (a ∈ A)} . (i ≤ Inning(s;a))
⊢ ||upto(N s)|| ~ N s

---

Latex:

---

Latex:
.....equality..... 
1.  V  :  Type
2.  \mexists{}v,v':V.  (\mneg{}(v  =  v'))@i
3.  \mforall{}v,v':V.    Dec(v  =  v')@i
4.  A  :  Id  List@i
5.  W  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List  List@i
6.  two-intersection(A;W)@i
7.  F  :  s:ConsensusState  {}\mrightarrow{}  i:\mBbbZ{}  {}\mrightarrow{}  consensus-state3(V)
8.  \mforall{}s:ConsensusState.  \mforall{}i:\mBbbZ{}.
          (((F  s  i)  =  INITIAL
            \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}v,v':V
                      ((\mneg{}(v  =  v'))
                      \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v 
                      \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v'  ))
          \mwedge{}  ((F  s  i)  =  WITHDRAWN  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mneg{}(\mexists{}v:V.  in  state  s,  inning  i  could  commit  v  ))
          \mwedge{}  (\mforall{}v:V
                    (((F  s  i)  =  COMMITED[v]  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  in  state  s,  inning  i  has  committed  v)
                    \mwedge{}  ((F  s  i)  =  CONSIDERING[v]
                        \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v 
                                \mwedge{}  (\mneg{}in  state  s,  inning  i  has  committed  v)
                                \mwedge{}  (\mforall{}v':V.  (in  state  s,  inning  i  could  commit  v'    {}\mRightarrow{}  (v'  =  v)))))))
9.  N  :  s:ConsensusState  {}\mrightarrow{}  \mBbbN{}
10.  \mforall{}s:ConsensusState.  \mforall{}i:\mBbbN{}.    (i  <  N  s  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}a:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  .  (i  \mleq{}  Inning(s;a)))
11.  s  :  ConsensusState@i
12.  \mforall{}i:\mBbbN{}.  (i  <  N  s  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}a:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  .  (i  \mleq{}  Inning(s;a)))
13.  i  :  \mBbbN{}@i
14.  i  <  N  s  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}a:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  .  (i  \mleq{}  Inning(s;a))
\mvdash{}  ||map(\mlambda{}i.(F  s  i);upto(N  s))||  \msim{}  N  s


By

---

Latex:
(RWO  "length-map"  0  THENA  Auto)

---

Home Index