---

Step * 1 1 1 2 1 1 of Lemma cs-ref-map3-ambivalent


1. V : Type@i'
2. L : consensus-state3(V) List@i
3. ∀[v:V]
     ∀[v':V]. v' = v ∈ V supposing (CONSIDERING[v'] ∈ L) ∨ (COMMITED[v'] ∈ L) 
     supposing (CONSIDERING[v] ∈ L) ∨ (COMMITED[v] ∈ L)
4. ∀v:V. ((COMMITED[v] ∈ L) ⇐⇒ cs-ref-map3(L) = Decided[v] ∈ consensus-state2(V))
5. ∀v:V
     ((∀v':V. (¬(COMMITED[v'] ∈ L))) ∧ (CONSIDERING[v] ∈ L) ⇐⇒ cs-ref-map3(L) = PREDECIDED[v] ∈ consensus-state2(V))
6. ∀[v:V]. (¬(COMMITED[v] ∈ L))@i
7. ∀[v:V]. (¬(CONSIDERING[v] ∈ L))@i
8. filter(λx.cs-is-committed(x);L) = [] ∈ (consensus-state3(V) List)
9. ¬(filter(λx.cs-is-considering(x);L) = [] ∈ (consensus-state3(V) List))
10. ∀[i:ℕ||L||]. (¬↑cs-is-considering(L[i])) supposing False@i
11. ∀[i:ℕ||L||]. (¬↑cs-is-committed(L[i]))
12. True
13. i : ℕ||L||
14. ↑cs-is-considering(L[i])@i
15. ∃v:V. (L[i] = CONSIDERING[v] ∈ consensus-state3(V))
⊢ False
BY
{ ExRepD }

1
1. V : Type@i'
2. L : consensus-state3(V) List@i
3. ∀[v:V]
     ∀[v':V]. v' = v ∈ V supposing (CONSIDERING[v'] ∈ L) ∨ (COMMITED[v'] ∈ L) 
     supposing (CONSIDERING[v] ∈ L) ∨ (COMMITED[v] ∈ L)
4. ∀v:V. ((COMMITED[v] ∈ L) ⇐⇒ cs-ref-map3(L) = Decided[v] ∈ consensus-state2(V))
5. ∀v:V
     ((∀v':V. (¬(COMMITED[v'] ∈ L))) ∧ (CONSIDERING[v] ∈ L) ⇐⇒ cs-ref-map3(L) = PREDECIDED[v] ∈ consensus-state2(V))
6. ∀[v:V]. (¬(COMMITED[v] ∈ L))@i
7. ∀[v:V]. (¬(CONSIDERING[v] ∈ L))@i
8. filter(λx.cs-is-committed(x);L) = [] ∈ (consensus-state3(V) List)
9. ¬(filter(λx.cs-is-considering(x);L) = [] ∈ (consensus-state3(V) List))
10. ∀[i:ℕ||L||]. (¬↑cs-is-considering(L[i])) supposing False@i
11. ∀[i:ℕ||L||]. (¬↑cs-is-committed(L[i]))
12. True
13. i : ℕ||L||
14. ↑cs-is-considering(L[i])@i
15. v : V
16. L[i] = CONSIDERING[v] ∈ consensus-state3(V)
⊢ False

---

Latex:

---

Latex:

1.  V  :  Type@i'
2.  L  :  consensus-state3(V)  List@i
3.  \mforall{}[v:V]
          \mforall{}[v':V].  v'  =  v  supposing  (CONSIDERING[v']  \mmember{}  L)  \mvee{}  (COMMITED[v']  \mmember{}  L) 
          supposing  (CONSIDERING[v]  \mmember{}  L)  \mvee{}  (COMMITED[v]  \mmember{}  L)
4.  \mforall{}v:V.  ((COMMITED[v]  \mmember{}  L)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  cs-ref-map3(L)  =  Decided[v])
5.  \mforall{}v:V.  ((\mforall{}v':V.  (\mneg{}(COMMITED[v']  \mmember{}  L)))  \mwedge{}  (CONSIDERING[v]  \mmember{}  L)  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  cs-ref-map3(L)  =  PREDECIDED[v])
6.  \mforall{}[v:V].  (\mneg{}(COMMITED[v]  \mmember{}  L))@i
7.  \mforall{}[v:V].  (\mneg{}(CONSIDERING[v]  \mmember{}  L))@i
8.  filter(\mlambda{}x.cs-is-committed(x);L)  =  []
9.  \mneg{}(filter(\mlambda{}x.cs-is-considering(x);L)  =  [])
10.  \mforall{}[i:\mBbbN{}||L||].  (\mneg{}\muparrow{}cs-is-considering(L[i]))  supposing  False@i
11.  \mforall{}[i:\mBbbN{}||L||].  (\mneg{}\muparrow{}cs-is-committed(L[i]))
12.  True
13.  i  :  \mBbbN{}||L||
14.  \muparrow{}cs-is-considering(L[i])@i
15.  \mexists{}v:V.  (L[i]  =  CONSIDERING[v])
\mvdash{}  False


By

---

Latex:
ExRepD

---

Home Index