---

Step * 1 1 2 2 1 of Lemma fpf-decompose

.....falsecase..... 
1. A : Type
2. eq : EqDecider(A)@i
3. B : A ⟶ Type
4. f : a:A fp-> B[a]@i
5. ||fpf-domain(f)|| ≥ 1 
6. 0 < ||fpf-domain(f)||
7. fp : a:A fp-> B[a]
8. fnp : a:A fp-> B[a]
9. ∀x:A. ((↑x ∈ dom(f)) ⇒ ((↑x ∈ dom(fp ⊕ fnp)) c∧ (f(x) = fp ⊕ fnp(x) ∈ B[x])))
10. fp ⊕ fnp ⊆ f
11. ∀a:A. ↑¬b(eqof(eq) a hd(fpf-domain(f))) supposing ↑a ∈ dom(fp)
12. ∀a:A. ¬↑¬b(eqof(eq) a hd(fpf-domain(f))) supposing ↑a ∈ dom(fnp)
13. fpf-domain(fp) ⊆ fpf-domain(f)
14. fpf-domain(fnp) ⊆ fpf-domain(f)
15. ↑hd(fpf-domain(f)) ∈ dom(f)
16. ↑hd(fpf-domain(f)) ∈ dom(fp ⊕ fnp)
17. f(hd(fpf-domain(f))) = fnp(hd(fpf-domain(f))) ∈ B[hd(fpf-domain(f))]
18. ¬↑hd(fpf-domain(f)) ∈ dom(fp)
⊢ hd(fpf-domain(f)) : f(hd(fpf-domain(f))) ⊆ fnp
BY
{ (D 0
   THEN Auto
   THEN OnMaybeHyp 20 (\h. (((RWO"fpf-single-dom-sq" h) THENM (RW assert_pushdownC h)) THENA Auto))
   THEN Reduce 0
   THEN OnMaybeHyp 16 (\h. (((RWO "fpf-join-dom" h) THENM D h) THENA Auto))
   THEN Try ((OnSomeHyp (\h. ((HypSubst' h 0 THEN Complete (Auto)))))⋅)
   THEN Try ((OnSomeHyp (\h. ((RevHypSubst' h 0 THEN Complete (Auto)))))⋅)) }

---

Latex:

---

Latex:
.....falsecase..... 
1.  A  :  Type
2.  eq  :  EqDecider(A)@i
3.  B  :  A  {}\mrightarrow{}  Type
4.  f  :  a:A  fp->  B[a]@i
5.  ||fpf-domain(f)||  \mgeq{}  1 
6.  0  <  ||fpf-domain(f)||
7.  fp  :  a:A  fp->  B[a]
8.  fnp  :  a:A  fp->  B[a]
9.  \mforall{}x:A.  ((\muparrow{}x  \mmember{}  dom(f))  {}\mRightarrow{}  ((\muparrow{}x  \mmember{}  dom(fp  \moplus{}  fnp))  c\mwedge{}  (f(x)  =  fp  \moplus{}  fnp(x))))
10.  fp  \moplus{}  fnp  \msubseteq{}  f
11.  \mforall{}a:A.  \muparrow{}\mneg{}\msubb{}(eqof(eq)  a  hd(fpf-domain(f)))  supposing  \muparrow{}a  \mmember{}  dom(fp)
12.  \mforall{}a:A.  \mneg{}\muparrow{}\mneg{}\msubb{}(eqof(eq)  a  hd(fpf-domain(f)))  supposing  \muparrow{}a  \mmember{}  dom(fnp)
13.  fpf-domain(fp)  \msubseteq{}  fpf-domain(f)
14.  fpf-domain(fnp)  \msubseteq{}  fpf-domain(f)
15.  \muparrow{}hd(fpf-domain(f))  \mmember{}  dom(f)
16.  \muparrow{}hd(fpf-domain(f))  \mmember{}  dom(fp  \moplus{}  fnp)
17.  f(hd(fpf-domain(f)))  =  fnp(hd(fpf-domain(f)))
18.  \mneg{}\muparrow{}hd(fpf-domain(f))  \mmember{}  dom(fp)
\mvdash{}  hd(fpf-domain(f))  :  f(hd(fpf-domain(f)))  \msubseteq{}  fnp


By

---

Latex:
(D  0
  THEN  Auto
  THEN  OnMaybeHyp  20  (\mbackslash{}h.  (((RWO"fpf-single-dom-sq"  h)  THENM  (RW  assert\_pushdownC  h))  THENA  Auto))
  THEN  Reduce  0
  THEN  OnMaybeHyp  16  (\mbackslash{}h.  (((RWO  "fpf-join-dom"  h)  THENM  D  h)  THENA  Auto))
  THEN  Try  ((OnSomeHyp  (\mbackslash{}h.  ((HypSubst'  h  0  THEN  Complete  (Auto)))))\mcdot{})
  THEN  Try  ((OnSomeHyp  (\mbackslash{}h.  ((RevHypSubst'  h  0  THEN  Complete  (Auto)))))\mcdot{}))

---

Home Index