---

Step * 1 2 1 1 1 1 1 of Lemma bind-class-program_wf


1. Info : Type
2. A : Type
3. B : Type
4. valueall-type(B)
5. es : EO+(Info)@i'
6. X : hdataflow(Info;A)@i
7. Y : A ⟶ hdataflow(Info;B)@i
8. e : E@i
9. ∀e1:E
     ((e1 < e)
     ⇒ (simple-hdf-bind(X;λx.(Y x))*(map(λx.info(x);before(e1)))
        = mk-hdf(p,a.simple-bind-nxt(λx.(Y x); p; a);p.let X,ys = p 
                                                       in ff;<X*(map(λx.info(x);before(e1)))
                                                             , ⋃e'∈before(e1).
                                                               bag-map(λa.Y a*(map(λx.info(x);filter(λa.e' ≤loc a;
                                                                                                     before(e1))));
                                                               snd(X*(map(λx.info(x);before(e')))(info(e'))))
                                                             >)
        ∈ hdataflow(Info;B)))
10. ¬↑first(e)
11. v : hdataflow(Info;A)@i
12. X*(map(λx.info(x);before(pred(e)))) = v ∈ hdataflow(Info;A)@i
⊢ (fst(mk-hdf(p,a.simple-bind-nxt(λx.(Y x); p; a);p.let X,ys = p 
                                                    in ff;<v
                                                          , ⋃e'∈before(pred(e)).
                                                            bag-map(λa.Y a*(map(λx.info(x);filter(λa.e' ≤loc a;
                                                                                                  before(pred(e)))));
                                                            snd(X*(map(λx.info(x);before(e')))(info(e'))))
                                                          >)(info(pred(e)))))
= mk-hdf(p,a.simple-bind-nxt(λx.(Y x); p; a
                             );p.let X,ys = p 
                                 in ff;<fst(v(info(pred(e))))
                                       , ⋃e'∈before(pred(e)) @ [pred(e)].
                                         bag-map(λa.Y a*(map(λx.info(x);filter(λa.e' ≤loc a;
                                                                               before(pred(e)) @ [pred(e)])));
                                         snd(X*(map(λx.info(x);before(e')))(info(e'))))
                                       >)
∈ hdataflow(Info;B)
BY
{ (Fold `single-bag` 0
   THEN Fold `bag-append` 0
   THEN RW (AddrC [2] (RecUnfoldC `mk-hdf`)) 0
   THEN Reduce 0
   THEN RepUR ``hdf-ap hdf-run`` 0
   THEN Fold `hdf-ap` 0
   THEN RW (AddrC [2;1;1] (UnfoldC `simple-bind-nxt`)) 0
   THEN Reduce 0
   THEN GenConclAtAddr [2;1;1;1]
   THEN D -2
   THEN Reduce 0)⋅ }

1
1. Info : Type
2. A : Type
3. B : Type
4. valueall-type(B)
5. es : EO+(Info)@i'
6. X : hdataflow(Info;A)@i
7. Y : A ⟶ hdataflow(Info;B)@i
8. e : E@i
9. ∀e1:E
     ((e1 < e)
     ⇒ (simple-hdf-bind(X;λx.(Y x))*(map(λx.info(x);before(e1)))
        = mk-hdf(p,a.simple-bind-nxt(λx.(Y x); p; a);p.let X,ys = p 
                                                       in ff;<X*(map(λx.info(x);before(e1)))
                                                             , ⋃e'∈before(e1).
                                                               bag-map(λa.Y a*(map(λx.info(x);filter(λa.e' ≤loc a;
                                                                                                     before(e1))));
                                                               snd(X*(map(λx.info(x);before(e')))(info(e'))))
                                                             >)
        ∈ hdataflow(Info;B)))
10. ¬↑first(e)
11. v : hdataflow(Info;A)@i
12. X*(map(λx.info(x);before(pred(e)))) = v ∈ hdataflow(Info;A)@i
13. v2 : hdataflow(Info;A)@i
14. v3 : bag(A)@i
15. v(info(pred(e))) = <v2, v3> ∈ (hdataflow(Info;A) × bag(A))@i
⊢ (fst(let s1,b = let ybs ⟵ bag-map(λP.P(info(pred(e)));
                             ⋃e'∈before(pred(e)).bag-map(λa.Y a*(map(λx.info(x);filter(λa.e' ≤loc a;before(pred(e)))));
                                                 snd(X*(map(λx.info(x);before(e')))(info(e'))))
                             + bag-map(λx.(Y x);v3))
                  in let ys' ⟵ bag-map(λyb.(fst(yb));ybs)
                     in let out ⟵ ⋃yb∈ybs.snd(yb)
                        in <<v2, ys'>, out> 
       in <mk-hdf(p,a.simple-bind-nxt(λx.(Y x); p; a);p.let X,ys = p in ff;s1), b>))
= mk-hdf(p,a.simple-bind-nxt(λx.(Y x); p; a
                             );p.let X,ys = p 
                                 in ff;<v2
                                       , ⋃e'∈before(pred(e)) + {pred(e)}.
                                         bag-map(λa.Y a*(map(λx.info(x);filter(λa.e' ≤loc a;
                                                                               before(pred(e)) + {pred(e)})));
                                         snd(X*(map(λx.info(x);before(e')))(info(e'))))
                                       >)
∈ hdataflow(Info;B)

---

Latex:

---

Latex:

1.  Info  :  Type
2.  A  :  Type
3.  B  :  Type
4.  valueall-type(B)
5.  es  :  EO+(Info)@i'
6.  X  :  hdataflow(Info;A)@i
7.  Y  :  A  {}\mrightarrow{}  hdataflow(Info;B)@i
8.  e  :  E@i
9.  \mforall{}e1:E
          ((e1  <  e)
          {}\mRightarrow{}  (simple-hdf-bind(X;\mlambda{}x.(Y  x))*(map(\mlambda{}x.info(x);before(e1)))
                =  mk-hdf(p,a.simple-bind-nxt
                                              (\mlambda{}x.(Y  x);  p;  a);p.let  X,ys  =  p 
                                                                                    in  ff;<X*(map(\mlambda{}x.info(x);before(e1)))
                                                                                                ,  \mcup{}e'\mmember{}before(e1).
                                                                                                    bag-map(\mlambda{}a.Y  a*(map(\mlambda{}x.info(x);
                                                                                                                                            filter(\mlambda{}a.e'  \mleq{}loc  a;
                                                                                                                                                          before(e1))));
                                                                                                    snd(X*(map(\mlambda{}x.info(x);before(e')))(info(e'))))
                                                                                                >)))
10.  \mneg{}\muparrow{}first(e)
11.  v  :  hdataflow(Info;A)@i
12.  X*(map(\mlambda{}x.info(x);before(pred(e))))  =  v@i
\mvdash{}  (fst(mk-hdf(p,a.simple-bind-nxt
                                        (\mlambda{}x.(Y  x);  p;  a
                                          );p.let  X,ys  =  p 
                                                  in  ff;<v
                                                              ,  \mcup{}e'\mmember{}before(pred(e)).
                                                                  bag-map(\mlambda{}a.Y  a*(map(\mlambda{}x.info(x);filter(\mlambda{}a.e'  \mleq{}loc  a;
                                                                                                                                              before(pred(e)))));
                                                                  snd(X*(map(\mlambda{}x.info(x);before(e')))(info(e'))))
                                                              >)(info(pred(e)))))
=  mk-hdf(p,a.simple-bind-nxt(\mlambda{}x.(Y  x);  p;  a);p.let  X,ys  =  p 
                                                                                              in  ff;<fst(v(info(pred(e))))
                                                                                                          ,  \mcup{}e'\mmember{}before(pred(e))  @  [pred(e)].
                                                                                                              bag-map(\mlambda{}a.Y  a*(map(\mlambda{}x.info(x);
                                                                                                                                                      filter(\mlambda{}a.e'  \mleq{}loc  a;
                                                                                                                                                                    before(pred(e))
                                                                                                                                                                    @  [pred(e)])));
                                                                                                              snd(X*(map(\mlambda{}x.info(x);
                                                                                                                                    before(e')))(info(e'))))
                                                                                                          >)


By

---

Latex:
(Fold  `single-bag`  0
  THEN  Fold  `bag-append`  0
  THEN  RW  (AddrC  [2]  (RecUnfoldC  `mk-hdf`))  0
  THEN  Reduce  0
  THEN  RepUR  ``hdf-ap  hdf-run``  0
  THEN  Fold  `hdf-ap`  0
  THEN  RW  (AddrC  [2;1;1]  (UnfoldC  `simple-bind-nxt`))  0
  THEN  Reduce  0
  THEN  GenConclAtAddr  [2;1;1;1]
  THEN  D  -2
  THEN  Reduce  0)\mcdot{}

---

Home Index