---

Step * 1 2 2 2 1 of Lemma previous-event-exists


1. es : EO@i'
2. i : Id@i
3. R : {e:E| loc(e) = i ∈ Id}  ⟶ ℙ
4. WellFnd{i}(E;x,y.(x <loc y))
5. j : E@i
6. ∀k:E
     ((k <loc j)
     ⇒ (∀e:E. Dec(R[e]) supposing loc(e) = i ∈ Id)
     ⇒ (∃e':E. (e' ≤loc k  c∧ R[e']))
        ⇒ (∃e':E. (e' ≤loc k  c∧ (R[e'] ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ e'' ≤loc k  ⇒ (¬R[e''])))))) 
        supposing loc(k) = i ∈ Id)@i
7. ∀e:E. Dec(R[e]) supposing loc(e) = i ∈ Id@i
8. loc(j) = i ∈ Id
9. e1 : E@i
10. e1 ≤loc j @i
11. R[e1]@i
12. ¬R[j]
13. ¬↑first(j)
14. e' : E
15. e' ≤loc pred(j) 
16. R[e']
17. ∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ e'' ≤loc pred(j)  ⇒ (¬R[e'']))
18. e' ≤loc j 
19. R[e']
20. e'' : E@i
21. (e' <loc e'')@i
22. e'' ≤loc j @i
⊢ ¬R[e'']
BY
{ (((RWO "es-le-iff" (-1)) THENA Auto) THEN (D (-1)) THEN ExRepD) }

1
1. es : EO@i'
2. i : Id@i
3. R : {e:E| loc(e) = i ∈ Id}  ⟶ ℙ
4. WellFnd{i}(E;x,y.(x <loc y))
5. j : E@i
6. ∀k:E
     ((k <loc j)
     ⇒ (∀e:E. Dec(R[e]) supposing loc(e) = i ∈ Id)
     ⇒ (∃e':E. (e' ≤loc k  c∧ R[e']))
        ⇒ (∃e':E. (e' ≤loc k  c∧ (R[e'] ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ e'' ≤loc k  ⇒ (¬R[e''])))))) 
        supposing loc(k) = i ∈ Id)@i
7. ∀e:E. Dec(R[e]) supposing loc(e) = i ∈ Id@i
8. loc(j) = i ∈ Id
9. e1 : E@i
10. e1 ≤loc j @i
11. R[e1]@i
12. ¬R[j]
13. ¬↑first(j)
14. e' : E
15. e' ≤loc pred(j) 
16. R[e']
17. ∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ e'' ≤loc pred(j)  ⇒ (¬R[e'']))
18. e' ≤loc j 
19. R[e']
20. e'' : E@i
21. (e' <loc e'')@i
22. ¬↑first(j)
23. e'' ≤loc pred(j) 
⊢ ¬R[e'']

2
1. es : EO@i'
2. i : Id@i
3. R : {e:E| loc(e) = i ∈ Id}  ⟶ ℙ
4. WellFnd{i}(E;x,y.(x <loc y))
5. j : E@i
6. ∀k:E
     ((k <loc j)
     ⇒ (∀e:E. Dec(R[e]) supposing loc(e) = i ∈ Id)
     ⇒ (∃e':E. (e' ≤loc k  c∧ R[e']))
        ⇒ (∃e':E. (e' ≤loc k  c∧ (R[e'] ∧ (∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ e'' ≤loc k  ⇒ (¬R[e''])))))) 
        supposing loc(k) = i ∈ Id)@i
7. ∀e:E. Dec(R[e]) supposing loc(e) = i ∈ Id@i
8. loc(j) = i ∈ Id
9. e1 : E@i
10. e1 ≤loc j @i
11. R[e1]@i
12. ¬R[j]
13. ¬↑first(j)
14. e' : E
15. e' ≤loc pred(j) 
16. R[e']
17. ∀e'':E. ((e' <loc e'') ⇒ e'' ≤loc pred(j)  ⇒ (¬R[e'']))
18. e' ≤loc j 
19. R[e']
20. e'' : E@i
21. (e' <loc e'')@i
22. e'' = j ∈ E
⊢ ¬R[e'']

---

Latex:

---

Latex:

1.  es  :  EO@i'
2.  i  :  Id@i
3.  R  :  \{e:E|  loc(e)  =  i\}    {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
4.  WellFnd\{i\}(E;x,y.(x  <loc  y))
5.  j  :  E@i
6.  \mforall{}k:E
          ((k  <loc  j)
          {}\mRightarrow{}  (\mforall{}e:E.  Dec(R[e])  supposing  loc(e)  =  i)
          {}\mRightarrow{}  (\mexists{}e':E.  (e'  \mleq{}loc  k    c\mwedge{}  R[e']))
                {}\mRightarrow{}  (\mexists{}e':E.  (e'  \mleq{}loc  k    c\mwedge{}  (R[e']  \mwedge{}  (\mforall{}e'':E.  ((e'  <loc  e'')  {}\mRightarrow{}  e''  \mleq{}loc  k    {}\mRightarrow{}  (\mneg{}R[e''])))))) 
                supposing  loc(k)  =  i)@i
7.  \mforall{}e:E.  Dec(R[e])  supposing  loc(e)  =  i@i
8.  loc(j)  =  i
9.  e1  :  E@i
10.  e1  \mleq{}loc  j  @i
11.  R[e1]@i
12.  \mneg{}R[j]
13.  \mneg{}\muparrow{}first(j)
14.  e'  :  E
15.  e'  \mleq{}loc  pred(j) 
16.  R[e']
17.  \mforall{}e'':E.  ((e'  <loc  e'')  {}\mRightarrow{}  e''  \mleq{}loc  pred(j)    {}\mRightarrow{}  (\mneg{}R[e'']))
18.  e'  \mleq{}loc  j 
19.  R[e']
20.  e''  :  E@i
21.  (e'  <loc  e'')@i
22.  e''  \mleq{}loc  j  @i
\mvdash{}  \mneg{}R[e'']


By

---

Latex:
(((RWO  "es-le-iff"  (-1))  THENA  Auto)  THEN  (D  (-1))  THEN  ExRepD)

---

Home Index