---

Step * 1 1 1 of Lemma new_23_sig_progress-step5


1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} 
2. eq : EqDecider(Cmd)
3. reps : bag(Id)
4. clients : bag(Id)
5. coeff : {2...}
6. flrs : ℕ
7. propose : Atom List
8. notify : Atom List
9. slots : set-sig{i:l}(ℤ)
10. f : new_23_sig_headers_type{i:l}(Cmd;notify;propose)
11. (f propose) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
12. (f notify) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
13. (f ``new_23_sig decided``) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
14. (f ``new_23_sig retry``) = (ℤ × ℤ × Cmd) ∈ Type
15. (f ``new_23_sig vote``) = (ℤ × ℤ × Cmd × Id) ∈ Type
16. f ∈ Name ─→ Type
17. es : EO+(Message(f))
18. e : E
19. n : ℤ
20. c : Cmd
21. faulty : bag(Id)
22. msgs-interface-delivered-with-omissions(f;es;new_23_sig_main();faulty;flrs;reps)@i
23. bag-no-repeats(Id;reps)@i
24. #(reps) = ((coeff * flrs) + flrs + 1) ∈ ℤ@i
25. loc(e) ↓∈ reps@i
26. ¬loc(e) ↓∈ faulty@i
27. <n, c> ∈ new_23_sig_Proposal(Cmd;notify;propose;f)(e)@i
28. ¬↑(set-sig-member(slots) n new_23_sig_ReplicaStateFun(Cmd;notify;propose;slots;f;es;e))@i
29. b_all(Id;[x∈reps|¬bbag-deq-member(IdDeq;x;faulty)];i.↓∃e':E
                                                           ∃c':Cmd
                                                            ((loc(e') = loc(e) ∈ Id)
                                                            ∧ <<<n, 0>, c'>, i> ∈
                                                               new_23_sig_vote'base(Cmd;notify;propose;f)(e')))
30. bs : (Id × E) List
31. bag-map(λi.(fst(i));bs) = [x∈reps|¬bbag-deq-member(IdDeq;x;faulty)] ∈ bag(Id)
32. (∀i∈bs.↓∃c':Cmd
             ((loc(snd(i)) = loc(e) ∈ Id)
             ∧ <<<n, 0>, c'>, fst(i)> ∈ new_23_sig_vote'base(Cmd;notify;propose;f)(snd(i))))
33. b1 : (Id × E × Cmd) List
34. map(λi.(fst(i));b1) = bs ∈ ((Id × E) List)
35. (∀i∈b1.↓(loc(snd(fst(i))) = loc(e) ∈ Id)
            ∧ <<<n, 0>, snd(i)>, fst(fst(i))> ∈ new_23_sig_vote'base(Cmd;notify;propose;f)(snd(fst(i))))
⊢ bag-map(λi.(fst(i));map(λx.let z,c = x 
                             in let i,e = z 
                                in <i, e, c>;b1))
= [x∈reps|¬bbag-deq-member(IdDeq;x;faulty)]
∈ bag(Id)
BY
{ (Unfold `bag-map` 0
   THEN (RWO "map-map" 0 THENA Auto)
   THEN RepUR ``compose`` 0
   THEN (RevHypSubst (-5) 0 THENA Auto)
   THEN (RevHypSubst (-2) 0 THENA Auto)
   THEN Unfold `bag-map` 0
   THEN (RWO "map-map" 0 THENA Auto)
   THEN RepUR ``compose`` 0
   THEN RepeatFor 2 ((EqCD THEN Auto))
   THEN DProdsAndUnions
   THEN AllReduce
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  Cmd  :  \{T:Type|  valueall-type(T)\} 
2.  eq  :  EqDecider(Cmd)
3.  reps  :  bag(Id)
4.  clients  :  bag(Id)
5.  coeff  :  \{2...\}
6.  flrs  :  \mBbbN{}
7.  propose  :  Atom  List
8.  notify  :  Atom  List
9.  slots  :  set-sig\{i:l\}(\mBbbZ{})
10.  f  :  new\_23\_sig\_headers\_type\{i:l\}(Cmd;notify;propose)
11.  (f  propose)  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
12.  (f  notify)  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
13.  (f  ``new\_23\_sig  decided``)  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
14.  (f  ``new\_23\_sig  retry``)  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
15.  (f  ``new\_23\_sig  vote``)  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd  \mtimes{}  Id)
16.  f  \mmember{}  Name  {}\mrightarrow{}  Type
17.  es  :  EO+(Message(f))
18.  e  :  E
19.  n  :  \mBbbZ{}
20.  c  :  Cmd
21.  faulty  :  bag(Id)
22.  msgs-interface-delivered-with-omissions(f;es;new\_23\_sig\_main();faulty;flrs;reps)@i
23.  bag-no-repeats(Id;reps)@i
24.  \#(reps)  =  ((coeff  *  flrs)  +  flrs  +  1)@i
25.  loc(e)  \mdownarrow{}\mmember{}  reps@i
26.  \mneg{}loc(e)  \mdownarrow{}\mmember{}  faulty@i
27.  <n,  c>  \mmember{}  new\_23\_sig\_Proposal(Cmd;notify;propose;f)(e)@i
28.  \mneg{}\muparrow{}(set-sig-member(slots)  n  new\_23\_sig\_ReplicaStateFun(Cmd;notify;propose;slots;f;es;e))@i
29.  b\_all(Id;[x\mmember{}reps|
                            \mneg{}\msubb{}bag-deq-member(IdDeq;x;faulty)];i.\mdownarrow{}\mexists{}e':E
                                                                                                        \mexists{}c':Cmd
                                                                                                          ((loc(e')  =  loc(e))
                                                                                                          \mwedge{}  <<<n,  0>,  c'>,  i>  \mmember{}
                                                                                                                new\_23\_sig\_vote'base(Cmd;notify;propose;f)(
                                                                                                                e')))
30.  bs  :  (Id  \mtimes{}  E)  List
31.  bag-map(\mlambda{}i.(fst(i));bs)  =  [x\mmember{}reps|\mneg{}\msubb{}bag-deq-member(IdDeq;x;faulty)]
32.  (\mforall{}i\mmember{}bs.\mdownarrow{}\mexists{}c':Cmd
                          ((loc(snd(i))  =  loc(e))
                          \mwedge{}  <<<n,  0>,  c'>,  fst(i)>  \mmember{}  new\_23\_sig\_vote'base(Cmd;notify;propose;f)(snd(i))))
33.  b1  :  (Id  \mtimes{}  E  \mtimes{}  Cmd)  List
34.  map(\mlambda{}i.(fst(i));b1)  =  bs
35.  (\mforall{}i\mmember{}b1.\mdownarrow{}(loc(snd(fst(i)))  =  loc(e))
                        \mwedge{}  <<<n,  0>,  snd(i)>,  fst(fst(i))>  \mmember{}  new\_23\_sig\_vote'base(Cmd;notify;propose;f)(
                                                                                                snd(fst(i))))
\mvdash{}  bag-map(\mlambda{}i.(fst(i));map(\mlambda{}x.let  z,c  =  x 
                                                          in  let  i,e  =  z 
                                                                in  <i,  e,  c>b1))
=  [x\mmember{}reps|\mneg{}\msubb{}bag-deq-member(IdDeq;x;faulty)]


By

---

Latex:
(Unfold  `bag-map`  0
  THEN  (RWO  "map-map"  0  THENA  Auto)
  THEN  RepUR  ``compose``  0
  THEN  (RevHypSubst  (-5)  0  THENA  Auto)
  THEN  (RevHypSubst  (-2)  0  THENA  Auto)
  THEN  Unfold  `bag-map`  0
  THEN  (RWO  "map-map"  0  THENA  Auto)
  THEN  RepUR  ``compose``  0
  THEN  RepeatFor  2  ((EqCD  THEN  Auto))
  THEN  DProdsAndUnions
  THEN  AllReduce
  THEN  Auto)

---

Home Index