---

Step * of Lemma new_23_sig_progress-step8-v2

∀[Cmd:ValueAllType]. ∀[eq:EqDecider(Cmd)]. ∀[reps,clients:bag(Id)]. ∀[coeff:{2...}]. ∀[flrs:ℕ].
∀[propose,notify:Atom List]. ∀[slots:set-sig{i:l}(ℤ)]. ∀[f:new_23_sig_headers_type{i:l}(Cmd;notify;propose)].
∀[es:EO+(Message(f))]. ∀[e:E]. ∀[n:ℤ]. ∀[c:Cmd]. ∀[faulty:bag(Id)].
  (msgs-interface-delivered-with-omissions(f;es;new_23_sig_main();faulty;flrs;reps)
  ⇒ bag-no-repeats(Id;reps)
  ⇒ (#(reps) = ((coeff * flrs) + flrs + 1) ∈ ℤ)
  ⇒ loc(e) ↓∈ reps
  ⇒ (¬loc(e) ↓∈ faulty)
  ⇒ <n, c> ∈ new_23_sig_Proposal(Cmd;notify;propose;f)(e)
  ⇒ (¬↑(set-sig-member(slots) n new_23_sig_ReplicaStateFun(Cmd;notify;propose;slots;f;es;e)))
  ⇒ (↓∃bs:(Id × E × Cmd) List
        ((((coeff * flrs) + 1) ≤ ||bs||)
        ∧ (∀x∈bs.(loc(fst(snd(x))) = loc(e) ∈ Id)
             ∧ e ≤loc fst(snd(x)) 
             ∧ <<<n, 0>, snd(snd(x))>, fst(x)> ∈ new_23_sig_vote'base(Cmd;notify;propose;f)(fst(snd(x))))
        ∧ l-ordered(Id × E × Cmd;x,y.(fst(snd(x)) <loc fst(snd(y)));bs)
        ∧ (∀e'∈[e, fst(snd(last(bs)))].(↑new_23_sig_vote_with_ballot(Cmd;notify;propose;f;es;e';n;0))
              ⇒ (e' ∈ map(λx.(fst(snd(x)));bs)))
        ∧ b_all(Id;[x∈reps|¬bbag-deq-member(IdDeq;x;faulty)];i.(i ∈ map(λi.(fst(i));bs)))
        ∧ (bs
          = mapfilter(λe.<snd(msgval(e)), e, snd(fst(msgval(e)))>;
                      λe.new_23_sig_vote_with_ballot(Cmd;notify;propose;f;es;e;n;0);
                      [e, fst(snd(last(bs)))])
          ∈ ((Id × E × Cmd) List)))))
BY
{ StartEmlProof }

1
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} 
2. eq : EqDecider(Cmd)
3. reps : bag(Id)
4. clients : bag(Id)
5. coeff : {2...}
6. flrs : ℕ
7. propose : Atom List
8. notify : Atom List
9. slots : set-sig{i:l}(ℤ)
10. f : new_23_sig_headers_type{i:l}(Cmd;notify;propose)
11. (f propose) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
12. (f notify) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
13. (f ``new_23_sig decided``) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
14. (f ``new_23_sig retry``) = (ℤ × ℤ × Cmd) ∈ Type
15. (f ``new_23_sig vote``) = (ℤ × ℤ × Cmd × Id) ∈ Type
16. f ∈ Name ─→ Type
17. es : EO+(Message(f))
18. e : E
19. n : ℤ
20. c : Cmd
21. faulty : bag(Id)
22. msgs-interface-delivered-with-omissions(f;es;new_23_sig_main();faulty;flrs;reps)@i
23. bag-no-repeats(Id;reps)@i
24. #(reps) = ((coeff * flrs) + flrs + 1) ∈ ℤ@i
25. loc(e) ↓∈ reps@i
26. ¬loc(e) ↓∈ faulty@i
27. <n, c> ∈ new_23_sig_Proposal(Cmd;notify;propose;f)(e)@i
28. ¬↑(set-sig-member(slots) n new_23_sig_ReplicaStateFun(Cmd;notify;propose;slots;f;es;e))@i
⊢ ↓∃bs:(Id × E × Cmd) List
    ((((coeff * flrs) + 1) ≤ ||bs||)
    ∧ (∀x∈bs.(loc(fst(snd(x))) = loc(e) ∈ Id)
         ∧ e ≤loc fst(snd(x)) 
         ∧ <<<n, 0>, snd(snd(x))>, fst(x)> ∈ new_23_sig_vote'base(Cmd;notify;propose;f)(fst(snd(x))))
    ∧ l-ordered(Id × E × Cmd;x,y.(fst(snd(x)) <loc fst(snd(y)));bs)
    ∧ (∀e'∈[e, fst(snd(last(bs)))].(↑new_23_sig_vote_with_ballot(Cmd;notify;propose;f;es;e';n;0))
          ⇒ (e' ∈ map(λx.(fst(snd(x)));bs)))
    ∧ b_all(Id;[x∈reps|¬bbag-deq-member(IdDeq;x;faulty)];i.(i ∈ map(λi.(fst(i));bs)))
    ∧ (bs
      = mapfilter(λe.<snd(msgval(e)), e, snd(fst(msgval(e)))>;
                  λe.new_23_sig_vote_with_ballot(Cmd;notify;propose;f;es;e;n;0);
                  [e, fst(snd(last(bs)))])
      ∈ ((Id × E × Cmd) List)))

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[Cmd:ValueAllType].  \mforall{}[eq:EqDecider(Cmd)].  \mforall{}[reps,clients:bag(Id)].  \mforall{}[coeff:\{2...\}].  \mforall{}[flrs:\mBbbN{}].
\mforall{}[propose,notify:Atom  List].  \mforall{}[slots:set-sig\{i:l\}(\mBbbZ{})].
\mforall{}[f:new\_23\_sig\_headers\_type\{i:l\}(Cmd;notify;propose)].  \mforall{}[es:EO+(Message(f))].  \mforall{}[e:E].  \mforall{}[n:\mBbbZ{}].
\mforall{}[c:Cmd].  \mforall{}[faulty:bag(Id)].
    (msgs-interface-delivered-with-omissions(f;es;new\_23\_sig\_main();faulty;flrs;reps)
    {}\mRightarrow{}  bag-no-repeats(Id;reps)
    {}\mRightarrow{}  (\#(reps)  =  ((coeff  *  flrs)  +  flrs  +  1))
    {}\mRightarrow{}  loc(e)  \mdownarrow{}\mmember{}  reps
    {}\mRightarrow{}  (\mneg{}loc(e)  \mdownarrow{}\mmember{}  faulty)
    {}\mRightarrow{}  <n,  c>  \mmember{}  new\_23\_sig\_Proposal(Cmd;notify;propose;f)(e)
    {}\mRightarrow{}  (\mneg{}\muparrow{}(set-sig-member(slots)  n  new\_23\_sig\_ReplicaStateFun(Cmd;notify;propose;slots;f;es;e)))
    {}\mRightarrow{}  (\mdownarrow{}\mexists{}bs:(Id  \mtimes{}  E  \mtimes{}  Cmd)  List
                ((((coeff  *  flrs)  +  1)  \mleq{}  ||bs||)
                \mwedge{}  (\mforall{}x\mmember{}bs.(loc(fst(snd(x)))  =  loc(e))
                          \mwedge{}  e  \mleq{}loc  fst(snd(x)) 
                          \mwedge{}  <<<n,  0>,  snd(snd(x))>,  fst(x)>  \mmember{}  new\_23\_sig\_vote'base(Cmd;notify;propose;f)(
                                                                                                  fst(snd(x))))
                \mwedge{}  l-ordered(Id  \mtimes{}  E  \mtimes{}  Cmd;x,y.(fst(snd(x))  <loc  fst(snd(y)));bs)
                \mwedge{}  (\mforall{}e'\mmember{}[e,  fst(snd(last(bs)))].
                            (\muparrow{}new\_23\_sig\_vote\_with\_ballot(Cmd;notify;propose;f;es;e';n;0))
                            {}\mRightarrow{}  (e'  \mmember{}  map(\mlambda{}x.(fst(snd(x)));bs)))
                \mwedge{}  b\_all(Id;[x\mmember{}reps|\mneg{}\msubb{}bag-deq-member(IdDeq;x;faulty)];i.(i  \mmember{}  map(\mlambda{}i.(fst(i));bs)))
                \mwedge{}  (bs
                    =  mapfilter(\mlambda{}e.<snd(msgval(e)),  e,  snd(fst(msgval(e)))>
                                            \mlambda{}e.new\_23\_sig\_vote\_with\_ballot(Cmd;notify;propose;f;es;e;n;0);
                                            [e,  fst(snd(last(bs)))])))))


By

---

Latex:
StartEmlProof

---

Home Index