---

Step * 1 1 of Lemma new_23_sig_progress-step8


1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} 
2. eq : EqDecider(Cmd)
3. reps : bag(Id)
4. clients : bag(Id)
5. coeff : {2...}
6. flrs : ℕ
7. propose : Atom List
8. notify : Atom List
9. slots : set-sig{i:l}(ℤ)
10. f : new_23_sig_headers_type{i:l}(Cmd;notify;propose)
11. (f propose) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
12. (f notify) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
13. (f ``new_23_sig decided``) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
14. (f ``new_23_sig retry``) = (ℤ × ℤ × Cmd) ∈ Type
15. (f ``new_23_sig vote``) = (ℤ × ℤ × Cmd × Id) ∈ Type
16. f ∈ Name ─→ Type
17. es : EO+(Message(f))
18. e : E
19. n : ℤ
20. c : Cmd
21. faulty : bag(Id)
22. msgs-interface-delivered-with-omissions(f;es;new_23_sig_main();faulty;flrs;reps)@i
23. bag-no-repeats(Id;reps)@i
24. #(reps) = ((coeff * flrs) + flrs + 1) ∈ ℤ@i
25. loc(e) ↓∈ reps@i
26. ¬loc(e) ↓∈ faulty@i
27. <n, c> ∈ new_23_sig_Proposal(Cmd;notify;propose;f)(e)@i
28. ¬↑(set-sig-member(slots) n new_23_sig_ReplicaStateFun(Cmd;notify;propose;slots;f;es;e))@i
29. ↓∃bs:(Id × E × Cmd) List
      ((bag-map(λi.(fst(i));bs) = [x∈reps|¬bbag-deq-member(IdDeq;x;faulty)] ∈ bag(Id))
      ∧ (∀x∈bs.(loc(fst(snd(x))) = loc(e) ∈ Id)
           ∧ <<<n, 0>, snd(snd(x))>, fst(x)> ∈ new_23_sig_vote'base(Cmd;notify;propose;f)(fst(snd(x))))
      ∧ l-ordered(Id × E × Cmd;x,y.(fst(snd(x)) <loc fst(snd(y)));bs)
      ∧ (∀x∈bs.e ≤loc fst(snd(x)) )
      ∧ (((coeff * flrs) + 1) ≤ ||bs||))
⊢ ↓∃bs:(Id × E × Cmd) List
    ((((coeff * flrs) + 1) ≤ ||bs||)
    ∧ (∀x∈bs.(loc(fst(snd(x))) = loc(e) ∈ Id)
         ∧ e ≤loc fst(snd(x)) 
         ∧ <<<n, 0>, snd(snd(x))>, fst(x)> ∈ new_23_sig_vote'base(Cmd;notify;propose;f)(fst(snd(x))))
    ∧ l-ordered(Id × E × Cmd;x,y.(fst(snd(x)) <loc fst(snd(y)));bs)
    ∧ (∀e'∈[e, fst(snd(last(bs)))].(↑new_23_sig_vote_with_ballot(Cmd;notify;propose;f;es;e';n;0))
          ⇒ (e' ∈ map(λx.(fst(snd(x)));bs)))
    ∧ b_all(Id;[x∈reps|¬bbag-deq-member(IdDeq;x;faulty)];i.(i ∈ map(λi.(fst(i));bs))))
BY
{ (SquashExRepD
   THEN D 0
   THEN InstConcl [⌈mapfilter(λe.<snd(msgval(e)), e, snd(fst(msgval(e)))>;
                              λe.new_23_sig_vote_with_ballot(Cmd;notify;propose;f;es;e;n;0);
                              [e, fst(snd(last(bs)))])⌉]⋅) }

1
.....wf..... 
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} 
2. eq : EqDecider(Cmd)
3. reps : bag(Id)
4. clients : bag(Id)
5. coeff : {2...}
6. flrs : ℕ
7. propose : Atom List
8. notify : Atom List
9. slots : set-sig{i:l}(ℤ)
10. f : new_23_sig_headers_type{i:l}(Cmd;notify;propose)
11. (f propose) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
12. (f notify) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
13. (f ``new_23_sig decided``) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
14. (f ``new_23_sig retry``) = (ℤ × ℤ × Cmd) ∈ Type
15. (f ``new_23_sig vote``) = (ℤ × ℤ × Cmd × Id) ∈ Type
16. f ∈ Name ─→ Type
17. es : EO+(Message(f))
18. e : E
19. n : ℤ
20. c : Cmd
21. faulty : bag(Id)
22. msgs-interface-delivered-with-omissions(f;es;new_23_sig_main();faulty;flrs;reps)@i
23. bag-no-repeats(Id;reps)@i
24. #(reps) = ((coeff * flrs) + flrs + 1) ∈ ℤ@i
25. loc(e) ↓∈ reps@i
26. ¬loc(e) ↓∈ faulty@i
27. <n, c> ∈ new_23_sig_Proposal(Cmd;notify;propose;f)(e)@i
28. ¬↑(set-sig-member(slots) n new_23_sig_ReplicaStateFun(Cmd;notify;propose;slots;f;es;e))@i
29. bs : (Id × E × Cmd) List
30. bag-map(λi.(fst(i));bs) = [x∈reps|¬bbag-deq-member(IdDeq;x;faulty)] ∈ bag(Id)
31. (∀x∈bs.(loc(fst(snd(x))) = loc(e) ∈ Id)
       ∧ <<<n, 0>, snd(snd(x))>, fst(x)> ∈ new_23_sig_vote'base(Cmd;notify;propose;f)(fst(snd(x))))
32. l-ordered(Id × E × Cmd;x,y.(fst(snd(x)) <loc fst(snd(y)));bs)
33. (∀x∈bs.e ≤loc fst(snd(x)) )
34. ((coeff * flrs) + 1) ≤ ||bs||
⊢ mapfilter(λe.<snd(msgval(e)), e, snd(fst(msgval(e)))>;
            λe.new_23_sig_vote_with_ballot(Cmd;notify;propose;f;es;e;n;0);
            [e, fst(snd(last(bs)))]) ∈ (Id × E × Cmd) List

2
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} 
2. eq : EqDecider(Cmd)
3. reps : bag(Id)
4. clients : bag(Id)
5. coeff : {2...}
6. flrs : ℕ
7. propose : Atom List
8. notify : Atom List
9. slots : set-sig{i:l}(ℤ)
10. f : new_23_sig_headers_type{i:l}(Cmd;notify;propose)
11. (f propose) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
12. (f notify) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
13. (f ``new_23_sig decided``) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
14. (f ``new_23_sig retry``) = (ℤ × ℤ × Cmd) ∈ Type
15. (f ``new_23_sig vote``) = (ℤ × ℤ × Cmd × Id) ∈ Type
16. f ∈ Name ─→ Type
17. es : EO+(Message(f))
18. e : E
19. n : ℤ
20. c : Cmd
21. faulty : bag(Id)
22. msgs-interface-delivered-with-omissions(f;es;new_23_sig_main();faulty;flrs;reps)@i
23. bag-no-repeats(Id;reps)@i
24. #(reps) = ((coeff * flrs) + flrs + 1) ∈ ℤ@i
25. loc(e) ↓∈ reps@i
26. ¬loc(e) ↓∈ faulty@i
27. <n, c> ∈ new_23_sig_Proposal(Cmd;notify;propose;f)(e)@i
28. ¬↑(set-sig-member(slots) n new_23_sig_ReplicaStateFun(Cmd;notify;propose;slots;f;es;e))@i
29. bs : (Id × E × Cmd) List
30. bag-map(λi.(fst(i));bs) = [x∈reps|¬bbag-deq-member(IdDeq;x;faulty)] ∈ bag(Id)
31. (∀x∈bs.(loc(fst(snd(x))) = loc(e) ∈ Id)
       ∧ <<<n, 0>, snd(snd(x))>, fst(x)> ∈ new_23_sig_vote'base(Cmd;notify;propose;f)(fst(snd(x))))
32. l-ordered(Id × E × Cmd;x,y.(fst(snd(x)) <loc fst(snd(y)));bs)
33. (∀x∈bs.e ≤loc fst(snd(x)) )
34. ((coeff * flrs) + 1) ≤ ||bs||
⊢ (((coeff * flrs) + 1) ≤ ||mapfilter(λe.<snd(msgval(e)), e, snd(fst(msgval(e)))>;
                                      λe.new_23_sig_vote_with_ballot(Cmd;notify;propose;f;es;e;n;0);
                                      [e, fst(snd(last(bs)))])||)
∧ (∀x∈mapfilter(λe.<snd(msgval(e)), e, snd(fst(msgval(e)))>;
                λe.new_23_sig_vote_with_ballot(Cmd;notify;propose;f;es;e;n;0);
                [e, fst(snd(last(bs)))]).(loc(fst(snd(x))) = loc(e) ∈ Id)
     ∧ e ≤loc fst(snd(x)) 
     ∧ <<<n, 0>, snd(snd(x))>, fst(x)> ∈ new_23_sig_vote'base(Cmd;notify;propose;f)(fst(snd(x))))
∧ l-ordered(Id
  × E
  × Cmd;x,y.(fst(snd(x)) <loc fst(snd(y)));mapfilter(λe.<snd(msgval(e)), e, snd(fst(msgval(e)))>;
                                                     λe.new_23_sig_vote_with_ballot(Cmd;notify;propose;f;es;e;n;0);
                                                     [e, fst(snd(last(bs)))]))
∧ (∀e'∈[e, fst(snd(last(mapfilter(λe.<snd(msgval(e)), e, snd(fst(msgval(e)))>;
                                  λe.new_23_sig_vote_with_ballot(Cmd;notify;propose;f;es;e;n;0);
                                  [e, fst(snd(last(bs)))]))))].
      (↑new_23_sig_vote_with_ballot(Cmd;notify;propose;f;es;e';n;0))
      ⇒ (e' ∈ map(λx.(fst(snd(x)));mapfilter(λe.<snd(msgval(e)), e, snd(fst(msgval(e)))>;
                                              λe.new_23_sig_vote_with_ballot(Cmd;notify;propose;f;es;e;n;0);
                                              [e, fst(snd(last(bs)))]))))
∧ b_all(Id;[x∈reps|
            ¬bbag-deq-member(IdDeq;x;faulty)];i.(i
                                                  ∈ map(λi.(fst(i));
                                                        mapfilter(λe.<snd(msgval(e)), e, snd(fst(msgval(e)))>;
                                                                  ...;
                                                                  [e, fst(snd(last(bs)))]))))

3
.....wf..... 
1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} 
2. eq : EqDecider(Cmd)
3. reps : bag(Id)
4. clients : bag(Id)
5. coeff : {2...}
6. flrs : ℕ
7. propose : Atom List
8. notify : Atom List
9. slots : set-sig{i:l}(ℤ)
10. f : new_23_sig_headers_type{i:l}(Cmd;notify;propose)
11. (f propose) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
12. (f notify) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
13. (f ``new_23_sig decided``) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
14. (f ``new_23_sig retry``) = (ℤ × ℤ × Cmd) ∈ Type
15. (f ``new_23_sig vote``) = (ℤ × ℤ × Cmd × Id) ∈ Type
16. f ∈ Name ─→ Type
17. es : EO+(Message(f))
18. e : E
19. n : ℤ
20. c : Cmd
21. faulty : bag(Id)
22. msgs-interface-delivered-with-omissions(f;es;new_23_sig_main();faulty;flrs;reps)@i
23. bag-no-repeats(Id;reps)@i
24. #(reps) = ((coeff * flrs) + flrs + 1) ∈ ℤ@i
25. loc(e) ↓∈ reps@i
26. ¬loc(e) ↓∈ faulty@i
27. <n, c> ∈ new_23_sig_Proposal(Cmd;notify;propose;f)(e)@i
28. ¬↑(set-sig-member(slots) n new_23_sig_ReplicaStateFun(Cmd;notify;propose;slots;f;es;e))@i
29. bs : (Id × E × Cmd) List
30. bag-map(λi.(fst(i));bs) = [x∈reps|¬bbag-deq-member(IdDeq;x;faulty)] ∈ bag(Id)
31. (∀x∈bs.(loc(fst(snd(x))) = loc(e) ∈ Id)
       ∧ <<<n, 0>, snd(snd(x))>, fst(x)> ∈ new_23_sig_vote'base(Cmd;notify;propose;f)(fst(snd(x))))
32. l-ordered(Id × E × Cmd;x,y.(fst(snd(x)) <loc fst(snd(y)));bs)
33. (∀x∈bs.e ≤loc fst(snd(x)) )
34. ((coeff * flrs) + 1) ≤ ||bs||
35. b1 : (Id × E × Cmd) List
⊢ (((coeff * flrs) + 1) ≤ ||b1||)
  ∧ (∀x∈b1.(loc(fst(snd(x))) = loc(e) ∈ Id)
       ∧ e ≤loc fst(snd(x)) 
       ∧ <<<n, 0>, snd(snd(x))>, fst(x)> ∈ new_23_sig_vote'base(Cmd;notify;propose;f)(fst(snd(x))))
  ∧ l-ordered(Id × E × Cmd;x,y.(fst(snd(x)) <loc fst(snd(y)));b1)
  ∧ (∀e'∈[e, fst(snd(last(b1)))].(↑new_23_sig_vote_with_ballot(Cmd;notify;propose;f;es;e';n;0))
        ⇒ (e' ∈ map(λx.(fst(snd(x)));b1)))
  ∧ b_all(Id;[x∈reps|¬bbag-deq-member(IdDeq;x;faulty)];i.(i ∈ map(λi.(fst(i));b1))) ∈ ℙ

---

Latex:

---

Latex:

1.  Cmd  :  \{T:Type|  valueall-type(T)\} 
2.  eq  :  EqDecider(Cmd)
3.  reps  :  bag(Id)
4.  clients  :  bag(Id)
5.  coeff  :  \{2...\}
6.  flrs  :  \mBbbN{}
7.  propose  :  Atom  List
8.  notify  :  Atom  List
9.  slots  :  set-sig\{i:l\}(\mBbbZ{})
10.  f  :  new\_23\_sig\_headers\_type\{i:l\}(Cmd;notify;propose)
11.  (f  propose)  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
12.  (f  notify)  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
13.  (f  ``new\_23\_sig  decided``)  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
14.  (f  ``new\_23\_sig  retry``)  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
15.  (f  ``new\_23\_sig  vote``)  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd  \mtimes{}  Id)
16.  f  \mmember{}  Name  {}\mrightarrow{}  Type
17.  es  :  EO+(Message(f))
18.  e  :  E
19.  n  :  \mBbbZ{}
20.  c  :  Cmd
21.  faulty  :  bag(Id)
22.  msgs-interface-delivered-with-omissions(f;es;new\_23\_sig\_main();faulty;flrs;reps)@i
23.  bag-no-repeats(Id;reps)@i
24.  \#(reps)  =  ((coeff  *  flrs)  +  flrs  +  1)@i
25.  loc(e)  \mdownarrow{}\mmember{}  reps@i
26.  \mneg{}loc(e)  \mdownarrow{}\mmember{}  faulty@i
27.  <n,  c>  \mmember{}  new\_23\_sig\_Proposal(Cmd;notify;propose;f)(e)@i
28.  \mneg{}\muparrow{}(set-sig-member(slots)  n  new\_23\_sig\_ReplicaStateFun(Cmd;notify;propose;slots;f;es;e))@i
29.  \mdownarrow{}\mexists{}bs:(Id  \mtimes{}  E  \mtimes{}  Cmd)  List
            ((bag-map(\mlambda{}i.(fst(i));bs)  =  [x\mmember{}reps|\mneg{}\msubb{}bag-deq-member(IdDeq;x;faulty)])
            \mwedge{}  (\mforall{}x\mmember{}bs.(loc(fst(snd(x)))  =  loc(e))
                      \mwedge{}  <<<n,  0>,  snd(snd(x))>,  fst(x)>  \mmember{}  new\_23\_sig\_vote'base(Cmd;notify;propose;f)(
                                                                                              fst(snd(x))))
            \mwedge{}  l-ordered(Id  \mtimes{}  E  \mtimes{}  Cmd;x,y.(fst(snd(x))  <loc  fst(snd(y)));bs)
            \mwedge{}  (\mforall{}x\mmember{}bs.e  \mleq{}loc  fst(snd(x))  )
            \mwedge{}  (((coeff  *  flrs)  +  1)  \mleq{}  ||bs||))
\mvdash{}  \mdownarrow{}\mexists{}bs:(Id  \mtimes{}  E  \mtimes{}  Cmd)  List
        ((((coeff  *  flrs)  +  1)  \mleq{}  ||bs||)
        \mwedge{}  (\mforall{}x\mmember{}bs.(loc(fst(snd(x)))  =  loc(e))
                  \mwedge{}  e  \mleq{}loc  fst(snd(x)) 
                  \mwedge{}  <<<n,  0>,  snd(snd(x))>,  fst(x)>  \mmember{}  new\_23\_sig\_vote'base(Cmd;notify;propose;f)(
                                                                                          fst(snd(x))))
        \mwedge{}  l-ordered(Id  \mtimes{}  E  \mtimes{}  Cmd;x,y.(fst(snd(x))  <loc  fst(snd(y)));bs)
        \mwedge{}  (\mforall{}e'\mmember{}[e,  fst(snd(last(bs)))].(\muparrow{}new\_23\_sig\_vote\_with\_ballot(Cmd;notify;propose;f;es;e';n;0))
                    {}\mRightarrow{}  (e'  \mmember{}  map(\mlambda{}x.(fst(snd(x)));bs)))
        \mwedge{}  b\_all(Id;[x\mmember{}reps|\mneg{}\msubb{}bag-deq-member(IdDeq;x;faulty)];i.(i  \mmember{}  map(\mlambda{}i.(fst(i));bs))))


By

---

Latex:
(SquashExRepD
  THEN  D  0
  THEN  InstConcl  [\mkleeneopen{}mapfilter(\mlambda{}e.<snd(msgval(e)),  e,  snd(fst(msgval(e)))>
                                                        \mlambda{}e.new\_23\_sig\_vote\_with\_ballot(Cmd;notify;propose;f;es;e;n;0);
                                                        [e,  fst(snd(last(bs)))])\mkleeneclose{}]\mcdot{})

---

Home Index