---

Step * 1 1 2 1 2 of Lemma new_23_sig_progress-step9


1. Cmd : {T:Type| valueall-type(T)} 
2. eq : EqDecider(Cmd)
3. reps : bag(Id)
4. clients : bag(Id)
5. coeff : {2...}
6. flrs : ℕ
7. propose : Atom List
8. notify : Atom List
9. slots : set-sig{i:l}(ℤ)
10. f : new_23_sig_headers_type{i:l}(Cmd;notify;propose)
11. (f propose) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
12. (f notify) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
13. (f ``new_23_sig decided``) = (ℤ × Cmd) ∈ Type
14. (f ``new_23_sig retry``) = (ℤ × ℤ × Cmd) ∈ Type
15. (f ``new_23_sig vote``) = (ℤ × ℤ × Cmd × Id) ∈ Type
16. f ∈ Name ─→ Type
17. es : EO+(Message(f))
18. e : E
19. n : ℤ
20. c : Cmd
21. faulty : bag(Id)
22. msgs-interface-delivered-with-omissions(f;es;new_23_sig_main();faulty;flrs;reps)@i
23. bag-no-repeats(Id;reps)@i
24. #(reps) = ((coeff * flrs) + flrs + 1) ∈ ℤ@i
25. loc(e) ↓∈ reps@i
26. ¬loc(e) ↓∈ faulty@i
27. <n, c> ∈ new_23_sig_Proposal(Cmd;notify;propose;f)(e)@i
28. ¬↑(set-sig-member(slots) n new_23_sig_ReplicaStateFun(Cmd;notify;propose;slots;f;es;e))@i
29. bs : (Id × E × Cmd) List
30. ((coeff * flrs) + 1) ≤ ||bs||
31. (∀x∈bs.(loc(fst(snd(x))) = loc(e) ∈ Id)
       ∧ e ≤loc fst(snd(x)) 
       ∧ <<<n, 0>, snd(snd(x))>, fst(x)> ∈ new_23_sig_vote'base(Cmd;notify;propose;f)(fst(snd(x))))
32. l-ordered(Id × E × Cmd;x,y.(fst(snd(x)) <loc fst(snd(y)));bs)
33. (∀e'∈[e, fst(snd(last(bs)))].(↑new_23_sig_vote_with_ballot(Cmd;notify;propose;f;es;e';n;0))
        ⇒ (e' ∈ map(λx.(fst(snd(x)));bs)))
34. b_all(Id;[x∈reps|¬bbag-deq-member(IdDeq;x;faulty)];i.(i ∈ map(λi.(fst(i));bs)))
35. 0 ≤ (coeff * flrs)
36. ((coeff * flrs) + 1) ≤ ||remove-repeats-fun(IdDeq;λx.(fst(x));bs)||
37. K : (Id × E × Cmd) List
38. J : (Id × E × Cmd) List
39. remove-repeats-fun(IdDeq;λx.(fst(x));bs) = (K @ J) ∈ ((Id × E × Cmd) List)
40. ||K|| = ((coeff * flrs) + 1) ∈ ℤ
41. ¬↑null(K)
42. remove-repeats-fun(IdDeq;λx.(fst(x));bs) ⊆ bs
43. K ⊆ remove-repeats-fun(IdDeq;λx.(fst(x));bs)
44. K ⊆ bs
45. ((coeff * flrs) + 1) = ||K|| ∈ ℤ
46. (∀x∈K.(loc(fst(snd(x))) = loc(e) ∈ Id)
       ∧ e ≤loc fst(snd(x)) 
       ∧ <<<n, 0>, snd(snd(x))>, fst(x)> ∈ new_23_sig_vote'base(Cmd;notify;propose;f)(fst(snd(x)))
       ∧ (∀e'∈[e;fst(snd(x))).¬↑new_23_sig_vote_with_ballot_and_id(Cmd;notify;propose;f;es;e';n;0;fst(x))))
⊢ l-ordered(Id × E × Cmd;x,y.(fst(snd(x)) <loc fst(snd(y)));K)
BY
{ (FLemma `l-ordered-sublist` [-15;-3] THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  Cmd  :  \{T:Type|  valueall-type(T)\} 
2.  eq  :  EqDecider(Cmd)
3.  reps  :  bag(Id)
4.  clients  :  bag(Id)
5.  coeff  :  \{2...\}
6.  flrs  :  \mBbbN{}
7.  propose  :  Atom  List
8.  notify  :  Atom  List
9.  slots  :  set-sig\{i:l\}(\mBbbZ{})
10.  f  :  new\_23\_sig\_headers\_type\{i:l\}(Cmd;notify;propose)
11.  (f  propose)  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
12.  (f  notify)  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
13.  (f  ``new\_23\_sig  decided``)  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
14.  (f  ``new\_23\_sig  retry``)  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd)
15.  (f  ``new\_23\_sig  vote``)  =  (\mBbbZ{}  \mtimes{}  \mBbbZ{}  \mtimes{}  Cmd  \mtimes{}  Id)
16.  f  \mmember{}  Name  {}\mrightarrow{}  Type
17.  es  :  EO+(Message(f))
18.  e  :  E
19.  n  :  \mBbbZ{}
20.  c  :  Cmd
21.  faulty  :  bag(Id)
22.  msgs-interface-delivered-with-omissions(f;es;new\_23\_sig\_main();faulty;flrs;reps)@i
23.  bag-no-repeats(Id;reps)@i
24.  \#(reps)  =  ((coeff  *  flrs)  +  flrs  +  1)@i
25.  loc(e)  \mdownarrow{}\mmember{}  reps@i
26.  \mneg{}loc(e)  \mdownarrow{}\mmember{}  faulty@i
27.  <n,  c>  \mmember{}  new\_23\_sig\_Proposal(Cmd;notify;propose;f)(e)@i
28.  \mneg{}\muparrow{}(set-sig-member(slots)  n  new\_23\_sig\_ReplicaStateFun(Cmd;notify;propose;slots;f;es;e))@i
29.  bs  :  (Id  \mtimes{}  E  \mtimes{}  Cmd)  List
30.  ((coeff  *  flrs)  +  1)  \mleq{}  ||bs||
31.  (\mforall{}x\mmember{}bs.(loc(fst(snd(x)))  =  loc(e))
              \mwedge{}  e  \mleq{}loc  fst(snd(x)) 
              \mwedge{}  <<<n,  0>,  snd(snd(x))>,  fst(x)>  \mmember{}  new\_23\_sig\_vote'base(Cmd;notify;propose;f)(fst(snd(x))))
32.  l-ordered(Id  \mtimes{}  E  \mtimes{}  Cmd;x,y.(fst(snd(x))  <loc  fst(snd(y)));bs)
33.  (\mforall{}e'\mmember{}[e,  fst(snd(last(bs)))].(\muparrow{}new\_23\_sig\_vote\_with\_ballot(Cmd;notify;propose;f;es;e';n;0))
                {}\mRightarrow{}  (e'  \mmember{}  map(\mlambda{}x.(fst(snd(x)));bs)))
34.  b\_all(Id;[x\mmember{}reps|\mneg{}\msubb{}bag-deq-member(IdDeq;x;faulty)];i.(i  \mmember{}  map(\mlambda{}i.(fst(i));bs)))
35.  0  \mleq{}  (coeff  *  flrs)
36.  ((coeff  *  flrs)  +  1)  \mleq{}  ||remove-repeats-fun(IdDeq;\mlambda{}x.(fst(x));bs)||
37.  K  :  (Id  \mtimes{}  E  \mtimes{}  Cmd)  List
38.  J  :  (Id  \mtimes{}  E  \mtimes{}  Cmd)  List
39.  remove-repeats-fun(IdDeq;\mlambda{}x.(fst(x));bs)  =  (K  @  J)
40.  ||K||  =  ((coeff  *  flrs)  +  1)
41.  \mneg{}\muparrow{}null(K)
42.  remove-repeats-fun(IdDeq;\mlambda{}x.(fst(x));bs)  \msubseteq{}  bs
43.  K  \msubseteq{}  remove-repeats-fun(IdDeq;\mlambda{}x.(fst(x));bs)
44.  K  \msubseteq{}  bs
45.  ((coeff  *  flrs)  +  1)  =  ||K||
46.  (\mforall{}x\mmember{}K.(loc(fst(snd(x)))  =  loc(e))
              \mwedge{}  e  \mleq{}loc  fst(snd(x)) 
              \mwedge{}  <<<n,  0>,  snd(snd(x))>,  fst(x)>  \mmember{}  new\_23\_sig\_vote'base(Cmd;notify;propose;f)(fst(snd(x)))
              \mwedge{}  (\mforall{}e'\mmember{}[e;fst(snd(x))).
                          \mneg{}\muparrow{}new\_23\_sig\_vote\_with\_ballot\_and\_id(Cmd;notify;propose;f;es;e';n;0;fst(x))))
\mvdash{}  l-ordered(Id  \mtimes{}  E  \mtimes{}  Cmd;x,y.(fst(snd(x))  <loc  fst(snd(y)));K)


By

---

Latex:
(FLemma  `l-ordered-sublist`  [-15;-3]  THEN  Auto)

---

Home Index