---

Step * 3 of Lemma Accum-class-trans


1. Info : Type
2. B : Type
3. A : Type
4. R : B ─→ B ─→ ℙ@i'
5. f : A ─→ B ─→ B@i
6. init : Id ─→ bag(B)@i
7. X : EClass(A)@i'
8. es : EO+(Info)@i'
9. e1 : E@i
10. e2 : E@i
11. ∀e':E
      ((e' < e2)
      ⇒ (∀v1,v2:B.
            (Trans(B;x,y.R[x;y])
            ⇒ (∀s1,s2:B.  SqStable(R[s1;s2]))
            ⇒ (∀a:A. ∀e:E.
                  ((e1 <loc e)
                  ⇒ e ≤loc e' 
                  ⇒ a ∈ X(e)
                  ⇒ (∀s:B. (s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) ⇒ R[s;f a s]))))
            ⇒ single-valued-classrel(es;X;A)
            ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);B)
            ⇒ v1 ∈ Accum-class(f;init;X)(e1)
            ⇒ v2 ∈ Accum-class(f;init;X)(e')
            ⇒ (e1 <loc e')
            ⇒ R[v1;v2])))
12. v1 : B@i
13. v2 : B@i
14. Trans(B;x,y.R[x;y])@i
15. ∀s1,s2:B.  SqStable(R[s1;s2])@i
16. ∀a:A. ∀e:E.
      ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2  ⇒ a ∈ X(e) ⇒ (∀s:B. (s ∈ Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e) ⇒ R[s;f a s])))@i
17. single-valued-classrel(es;X;A)@i
18. single-valued-bag(init loc(e1);B)@i
19. v1 ∈ Accum-class(f;init;X)(e1)@i
20. a : A
21. b : B
22. v2 = (f a b) ∈ B
23. e' : E
24. (e' <loc e2)
25. ↓∃w:B. w ∈ Accum-class(f;init;X)(e')
26. ∀e'':E. ((e'' <loc e2) ⇒ (e' <loc e'') ⇒ (¬↓∃w:B. w ∈ Accum-class(f;init;X)(e'')))
27. b ∈ Accum-class(f;init;X)(e')
28. a ∈ X(e2)
29. (e1 <loc e2)@i
30. (e' <loc e1)
⊢ R[v1;v2]
BY
{ ((Assert ⌈False⌉⋅ THEN Auto)
   THEN (InstHyp [⌈e1⌉] (-5)⋅ THENA Auto)
   THEN D (-1)
   THEN D 0
   THEN InstConcl [⌈v1⌉]⋅
   THEN Auto) }

---

Latex:

---

Latex:

1.  Info  :  Type
2.  B  :  Type
3.  A  :  Type
4.  R  :  B  {}\mrightarrow{}  B  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}@i'
5.  f  :  A  {}\mrightarrow{}  B  {}\mrightarrow{}  B@i
6.  init  :  Id  {}\mrightarrow{}  bag(B)@i
7.  X  :  EClass(A)@i'
8.  es  :  EO+(Info)@i'
9.  e1  :  E@i
10.  e2  :  E@i
11.  \mforall{}e':E
            ((e'  <  e2)
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}v1,v2:B.
                        (Trans(B;x,y.R[x;y])
                        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}s1,s2:B.    SqStable(R[s1;s2]))
                        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  \mforall{}e:E.
                                    ((e1  <loc  e)
                                    {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e' 
                                    {}\mRightarrow{}  a  \mmember{}  X(e)
                                    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}s:B.  (s  \mmember{}  Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e)  {}\mRightarrow{}  R[s;f  a  s]))))
                        {}\mRightarrow{}  single-valued-classrel(es;X;A)
                        {}\mRightarrow{}  single-valued-bag(init  loc(e1);B)
                        {}\mRightarrow{}  v1  \mmember{}  Accum-class(f;init;X)(e1)
                        {}\mRightarrow{}  v2  \mmember{}  Accum-class(f;init;X)(e')
                        {}\mRightarrow{}  (e1  <loc  e')
                        {}\mRightarrow{}  R[v1;v2])))
12.  v1  :  B@i
13.  v2  :  B@i
14.  Trans(B;x,y.R[x;y])@i
15.  \mforall{}s1,s2:B.    SqStable(R[s1;s2])@i
16.  \mforall{}a:A.  \mforall{}e:E.
            ((e1  <loc  e)
            {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e2 
            {}\mRightarrow{}  a  \mmember{}  X(e)
            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}s:B.  (s  \mmember{}  Prior(Accum-class(f;init;X))?init(e)  {}\mRightarrow{}  R[s;f  a  s])))@i
17.  single-valued-classrel(es;X;A)@i
18.  single-valued-bag(init  loc(e1);B)@i
19.  v1  \mmember{}  Accum-class(f;init;X)(e1)@i
20.  a  :  A
21.  b  :  B
22.  v2  =  (f  a  b)
23.  e'  :  E
24.  (e'  <loc  e2)
25.  \mdownarrow{}\mexists{}w:B.  w  \mmember{}  Accum-class(f;init;X)(e')
26.  \mforall{}e'':E.  ((e''  <loc  e2)  {}\mRightarrow{}  (e'  <loc  e'')  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}\mdownarrow{}\mexists{}w:B.  w  \mmember{}  Accum-class(f;init;X)(e'')))
27.  b  \mmember{}  Accum-class(f;init;X)(e')
28.  a  \mmember{}  X(e2)
29.  (e1  <loc  e2)@i
30.  (e'  <loc  e1)
\mvdash{}  R[v1;v2]


By

---

Latex:
((Assert  \mkleeneopen{}False\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  Auto)
  THEN  (InstHyp  [\mkleeneopen{}e1\mkleeneclose{}]  (-5)\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  (-1)
  THEN  D  0
  THEN  InstConcl  [\mkleeneopen{}v1\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index