---

Step * of Lemma Memory-class-mem

∀[Info,B,A:Type].
  ∀R:A ─→ B ─→ B ─→ ℙ. ∀f:A ─→ B ─→ B. ∀init:Id ─→ bag(B). ∀X:EClass(A). ∀es:EO+(Info). ∀e1,e2:E. ∀v1,v2:B. ∀a:A.
    ((∀a:A. ∀s:B. ∀e:E.  (e1 ≤loc e  ⇒ (e <loc e2) ⇒ a ∈ X(e) ⇒ s ∈ Memory-class(f;init;X)(e) ⇒ R[a;s;f a s]))
    ⇒ (∀a1,a2:A. ∀s1,s2:B. ∀e,e':E.
          (e1 ≤loc e 
          ⇒ (e <loc e')
          ⇒ (e' <loc e2)
          ⇒ a1 ∈ X(e)
          ⇒ s1 ∈ Memory-class(f;init;X)(e)
          ⇒ a2 ∈ X(e')
          ⇒ s2 ∈ Memory-class(f;init;X)(e')
          ⇒ R[a1;s1;s2]
          ⇒ R[a1;s1;f a2 s2]))
    ⇒ single-valued-classrel(es;X;A)
    ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);B)
    ⇒ (e1 <loc e2)
    ⇒ a ∈ X(e1)
    ⇒ v1 ∈ Memory-class(f;init;X)(e1)
    ⇒ v2 ∈ Memory-class(f;init;X)(e2)
    ⇒ R[a;v1;v2])
BY
{ ((UnivCD THENA Auto)
   THEN (RWO "Memory-classrel-single-val" (-1) THENA Auto)
   THEN (RWO "Memory-classrel-single-val" (-2) THENA Auto)
   THEN All (RepUR ``prior-iterated-classrel``)
   THEN SplitOrHyps
   THEN RepD
   THEN Try (Complete ((Assert ⌈False⌉⋅ THEN MaAuto)))) }

1
1. [Info] : Type
2. [B] : Type
3. [A] : Type
4. R : A ─→ B ─→ B ─→ ℙ@i'
5. f : A ─→ B ─→ B@i
6. init : Id ─→ bag(B)@i
7. X : EClass(A)@i'
8. es : EO+(Info)@i'
9. e1 : E@i
10. e2 : E@i
11. v1 : B@i
12. v2 : B@i
13. a : A@i
14. ∀a:A. ∀s:B. ∀e:E.  (e1 ≤loc e  ⇒ (e <loc e2) ⇒ a ∈ X(e) ⇒ s ∈ Memory-class(f;init;X)(e) ⇒ R[a;s;f a s])@i
15. ∀a1,a2:A. ∀s1,s2:B. ∀e,e':E.
      (e1 ≤loc e 
      ⇒ (e <loc e')
      ⇒ (e' <loc e2)
      ⇒ a1 ∈ X(e)
      ⇒ s1 ∈ Memory-class(f;init;X)(e)
      ⇒ a2 ∈ X(e')
      ⇒ s2 ∈ Memory-class(f;init;X)(e')
      ⇒ R[a1;s1;s2]
      ⇒ R[a1;s1;f a2 s2])@i
16. single-valued-classrel(es;X;A)@i
17. single-valued-bag(init loc(e1);B)@i
18. (e1 <loc e2)@i
19. a ∈ X(e1)@i
20. ↑first(e1)
21. v1 ↓∈ init loc(e1)
22. ¬↑first(e2)
23. iterated-classrel(es;B;A;f;init;X;pred(e2);v2)
⊢ R[a;v1;v2]

2
1. [Info] : Type
2. [B] : Type
3. [A] : Type
4. R : A ─→ B ─→ B ─→ ℙ@i'
5. f : A ─→ B ─→ B@i
6. init : Id ─→ bag(B)@i
7. X : EClass(A)@i'
8. es : EO+(Info)@i'
9. e1 : E@i
10. e2 : E@i
11. v1 : B@i
12. v2 : B@i
13. a : A@i
14. ∀a:A. ∀s:B. ∀e:E.  (e1 ≤loc e  ⇒ (e <loc e2) ⇒ a ∈ X(e) ⇒ s ∈ Memory-class(f;init;X)(e) ⇒ R[a;s;f a s])@i
15. ∀a1,a2:A. ∀s1,s2:B. ∀e,e':E.
      (e1 ≤loc e 
      ⇒ (e <loc e')
      ⇒ (e' <loc e2)
      ⇒ a1 ∈ X(e)
      ⇒ s1 ∈ Memory-class(f;init;X)(e)
      ⇒ a2 ∈ X(e')
      ⇒ s2 ∈ Memory-class(f;init;X)(e')
      ⇒ R[a1;s1;s2]
      ⇒ R[a1;s1;f a2 s2])@i
16. single-valued-classrel(es;X;A)@i
17. single-valued-bag(init loc(e1);B)@i
18. (e1 <loc e2)@i
19. a ∈ X(e1)@i
20. ¬↑first(e1)
21. iterated-classrel(es;B;A;f;init;X;pred(e1);v1)
22. ¬↑first(e2)
23. iterated-classrel(es;B;A;f;init;X;pred(e2);v2)
⊢ R[a;v1;v2]

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[Info,B,A:Type].
    \mforall{}R:A  {}\mrightarrow{}  B  {}\mrightarrow{}  B  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}.  \mforall{}f:A  {}\mrightarrow{}  B  {}\mrightarrow{}  B.  \mforall{}init:Id  {}\mrightarrow{}  bag(B).  \mforall{}X:EClass(A).  \mforall{}es:EO+(Info).  \mforall{}e1,e2:E.
    \mforall{}v1,v2:B.  \mforall{}a:A.
        ((\mforall{}a:A.  \mforall{}s:B.  \mforall{}e:E.
                (e1  \mleq{}loc  e    {}\mRightarrow{}  (e  <loc  e2)  {}\mRightarrow{}  a  \mmember{}  X(e)  {}\mRightarrow{}  s  \mmember{}  Memory-class(f;init;X)(e)  {}\mRightarrow{}  R[a;s;f  a  s]))
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a1,a2:A.  \mforall{}s1,s2:B.  \mforall{}e,e':E.
                    (e1  \mleq{}loc  e 
                    {}\mRightarrow{}  (e  <loc  e')
                    {}\mRightarrow{}  (e'  <loc  e2)
                    {}\mRightarrow{}  a1  \mmember{}  X(e)
                    {}\mRightarrow{}  s1  \mmember{}  Memory-class(f;init;X)(e)
                    {}\mRightarrow{}  a2  \mmember{}  X(e')
                    {}\mRightarrow{}  s2  \mmember{}  Memory-class(f;init;X)(e')
                    {}\mRightarrow{}  R[a1;s1;s2]
                    {}\mRightarrow{}  R[a1;s1;f  a2  s2]))
        {}\mRightarrow{}  single-valued-classrel(es;X;A)
        {}\mRightarrow{}  single-valued-bag(init  loc(e1);B)
        {}\mRightarrow{}  (e1  <loc  e2)
        {}\mRightarrow{}  a  \mmember{}  X(e1)
        {}\mRightarrow{}  v1  \mmember{}  Memory-class(f;init;X)(e1)
        {}\mRightarrow{}  v2  \mmember{}  Memory-class(f;init;X)(e2)
        {}\mRightarrow{}  R[a;v1;v2])


By

---

Latex:
((UnivCD  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "Memory-classrel-single-val"  (-1)  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "Memory-classrel-single-val"  (-2)  THENA  Auto)
  THEN  All  (RepUR  ``prior-iterated-classrel``)
  THEN  SplitOrHyps
  THEN  RepD
  THEN  Try  (Complete  ((Assert  \mkleeneopen{}False\mkleeneclose{}\mcdot{}  THEN  MaAuto))))

---

Home Index