---

Step * of Lemma Memory-class-trans1

∀[Info,B,A:Type].
  ∀R:B ─→ B ─→ ℙ. ∀f:A ─→ B ─→ B. ∀init:Id ─→ bag(B). ∀X:EClass(A). ∀es:EO+(Info). ∀e1,e2:E. ∀v1,v2:B.
    (Trans(B;x,y.R[x;y])
    ⇒ (∀a:A. ∀e:E.  (e1 ≤loc e  ⇒ (e <loc e2) ⇒ a ∈ X(e) ⇒ (∀s:B. (s ∈ Memory-class(f;init;X)(e) ⇒ R[s;f a s]))))
    ⇒ single-valued-classrel(es;X;A)
    ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);B)
    ⇒ v1 ∈ Memory-class(f;init;X)(e1)
    ⇒ v2 ∈ Memory-class(f;init;X)(e2)
    ⇒ (e1 <loc e2)
    ⇒ (∃e:E. (e1 ≤loc e  ∧ (e <loc e2) ∧ (∃a:A. a ∈ X(e))))
    ⇒ R[v1;v2])
BY
{ (Auto
   THEN (RWO "Memory-classrel2" (-4) THENA Auto)
   THEN (RWO "Memory-classrel2" (-3) THENA Auto)
   THEN All (RepUR ``prior-iterated-classrel``)
   THEN ExRepD
   THEN Decide ↑first(e2)
   THEN Auto
   THEN Decide ↑first(e1)
   THEN Auto) }

1
1. [Info] : Type
2. [B] : Type
3. [A] : Type
4. R : B ─→ B ─→ ℙ@i'
5. f : A ─→ B ─→ B@i
6. init : Id ─→ bag(B)@i
7. X : EClass(A)@i'
8. es : EO+(Info)@i'
9. e1 : E@i
10. e2 : E@i
11. v1 : B@i
12. v2 : B@i
13. Trans(B;x,y.R[x;y])@i
14. ∀a:A. ∀e:E.  (e1 ≤loc e  ⇒ (e <loc e2) ⇒ a ∈ X(e) ⇒ (∀s:B. (s ∈ Memory-class(f;init;X)(e) ⇒ R[s;f a s])))@i
15. single-valued-classrel(es;X;A)@i
16. single-valued-bag(init loc(e1);B)@i
17. ↓((↑first(e1)) ∧ v1 ↓∈ init loc(e1)) ∨ ((¬↑first(e1)) ∧ iterated-classrel(es;B;A;f;init;X;pred(e1);v1))
18. ↓((↑first(e2)) ∧ v2 ↓∈ init loc(e2)) ∨ ((¬↑first(e2)) ∧ iterated-classrel(es;B;A;f;init;X;pred(e2);v2))
19. (e1 <loc e2)@i
20. e : E@i
21. e1 ≤loc e @i
22. (e <loc e2)@i
23. a : A@i
24. a ∈ X(e)@i
25. ¬↑first(e2)
26. ↑first(e1)
⊢ R[v1;v2]

2
1. [Info] : Type
2. [B] : Type
3. [A] : Type
4. R : B ─→ B ─→ ℙ@i'
5. f : A ─→ B ─→ B@i
6. init : Id ─→ bag(B)@i
7. X : EClass(A)@i'
8. es : EO+(Info)@i'
9. e1 : E@i
10. e2 : E@i
11. v1 : B@i
12. v2 : B@i
13. Trans(B;x,y.R[x;y])@i
14. ∀a:A. ∀e:E.  (e1 ≤loc e  ⇒ (e <loc e2) ⇒ a ∈ X(e) ⇒ (∀s:B. (s ∈ Memory-class(f;init;X)(e) ⇒ R[s;f a s])))@i
15. single-valued-classrel(es;X;A)@i
16. single-valued-bag(init loc(e1);B)@i
17. ↓((↑first(e1)) ∧ v1 ↓∈ init loc(e1)) ∨ ((¬↑first(e1)) ∧ iterated-classrel(es;B;A;f;init;X;pred(e1);v1))
18. ↓((↑first(e2)) ∧ v2 ↓∈ init loc(e2)) ∨ ((¬↑first(e2)) ∧ iterated-classrel(es;B;A;f;init;X;pred(e2);v2))
19. (e1 <loc e2)@i
20. e : E@i
21. e1 ≤loc e @i
22. (e <loc e2)@i
23. a : A@i
24. a ∈ X(e)@i
25. ¬↑first(e2)
26. ¬↑first(e1)
⊢ R[v1;v2]

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[Info,B,A:Type].
    \mforall{}R:B  {}\mrightarrow{}  B  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}.  \mforall{}f:A  {}\mrightarrow{}  B  {}\mrightarrow{}  B.  \mforall{}init:Id  {}\mrightarrow{}  bag(B).  \mforall{}X:EClass(A).  \mforall{}es:EO+(Info).  \mforall{}e1,e2:E.
    \mforall{}v1,v2:B.
        (Trans(B;x,y.R[x;y])
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  \mforall{}e:E.
                    (e1  \mleq{}loc  e 
                    {}\mRightarrow{}  (e  <loc  e2)
                    {}\mRightarrow{}  a  \mmember{}  X(e)
                    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}s:B.  (s  \mmember{}  Memory-class(f;init;X)(e)  {}\mRightarrow{}  R[s;f  a  s]))))
        {}\mRightarrow{}  single-valued-classrel(es;X;A)
        {}\mRightarrow{}  single-valued-bag(init  loc(e1);B)
        {}\mRightarrow{}  v1  \mmember{}  Memory-class(f;init;X)(e1)
        {}\mRightarrow{}  v2  \mmember{}  Memory-class(f;init;X)(e2)
        {}\mRightarrow{}  (e1  <loc  e2)
        {}\mRightarrow{}  (\mexists{}e:E.  (e1  \mleq{}loc  e    \mwedge{}  (e  <loc  e2)  \mwedge{}  (\mexists{}a:A.  a  \mmember{}  X(e))))
        {}\mRightarrow{}  R[v1;v2])


By

---

Latex:
(Auto
  THEN  (RWO  "Memory-classrel2"  (-4)  THENA  Auto)
  THEN  (RWO  "Memory-classrel2"  (-3)  THENA  Auto)
  THEN  All  (RepUR  ``prior-iterated-classrel``)
  THEN  ExRepD
  THEN  Decide  \muparrow{}first(e2)
  THEN  Auto
  THEN  Decide  \muparrow{}first(e1)
  THEN  Auto)

---

Home Index