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Step * of Lemma State-comb-trans-refl

∀[Info,B,A:Type]. ∀[R:B ─→ B ─→ ℙ].
  ∀f:A ─→ B ─→ B. ∀init:Id ─→ bag(B). ∀X:EClass(A). ∀es:EO+(Info). ∀e1,e2:E. ∀v1,v2:B.
    (Refl(B;x,y.R[x;y])
    ⇒ Trans(B;x,y.R[x;y])
    ⇒ (∀a:A. ∀e:E.
          ((e1 <loc e) ⇒ e ≤loc e2  ⇒ a ∈ X(e) ⇒ (∀s:B. (s ∈ State-comb(init;f;X)(pred(e)) ⇒ R[s;f a s]))))
    ⇒ single-valued-classrel(es;X;A)
    ⇒ single-valued-bag(init loc(e1);B)
    ⇒ v1 ∈ State-comb(init;f;X)(e1)
    ⇒ v2 ∈ State-comb(init;f;X)(e2)
    ⇒ e1 ≤loc e2 
    ⇒ R[v1;v2])
BY
{ ((UnivCD THENA Auto)
   THEN D (-1)
   THEN Try (Complete (((HypSubst' (-1) (-3) THENA Auto)
                        THEN InstLemma `State-comb-single-val0` [⌈Info⌉;⌈A⌉;⌈B⌉;⌈es⌉;⌈f⌉;⌈X⌉;⌈init⌉;⌈e2⌉;⌈v1⌉;⌈v2⌉]⋅
                        THEN Auto)))
   THEN (InstLemma `iterated-classrel-trans` [⌈Info⌉;⌈A⌉;⌈B⌉;⌈init⌉;⌈f⌉;⌈R⌉;⌈X⌉;⌈es⌉;⌈e1⌉;⌈e2⌉;⌈v1⌉;⌈v2⌉]⋅
         THENA (Auto
                THEN Try (OnSomeHyp (\h.Complete (MaUseClassRel h
                                                  THEN (RWO "iterated-classrel-iff" h THENA Auto)
                                                  THEN D h
                                                  THEN Unhide
                                                  THEN Auto))⋅)
                )
         )
   THEN Try (Complete ((Using [`e',⌈e⌉] (BHyp (-13))⋅
                        THEN Auto
                        THEN MaUseClassRel 0
                        THEN (RWO "iterated-classrel-iff" 0 THENA Auto)
                        THEN D 0
                        THEN Auto)))
   THEN InstLemma `decidable__exists-classrel-between3-sv` [⌈Info⌉;⌈A⌉;⌈X⌉;⌈es⌉;⌈e1⌉;⌈e2⌉]⋅
   THEN Auto
   THEN D (-1)
   THEN Try (Complete ((D (-3) THEN Auto)))
   THEN D (-2)
   THEN Auto
   THEN ParallelOp -5
   THEN InstConcl [⌈e⌉]⋅
   THEN MaAuto) }

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Latex:

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Latex:
\mforall{}[Info,B,A:Type].  \mforall{}[R:B  {}\mrightarrow{}  B  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].
    \mforall{}f:A  {}\mrightarrow{}  B  {}\mrightarrow{}  B.  \mforall{}init:Id  {}\mrightarrow{}  bag(B).  \mforall{}X:EClass(A).  \mforall{}es:EO+(Info).  \mforall{}e1,e2:E.  \mforall{}v1,v2:B.
        (Refl(B;x,y.R[x;y])
        {}\mRightarrow{}  Trans(B;x,y.R[x;y])
        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}a:A.  \mforall{}e:E.
                    ((e1  <loc  e)
                    {}\mRightarrow{}  e  \mleq{}loc  e2 
                    {}\mRightarrow{}  a  \mmember{}  X(e)
                    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}s:B.  (s  \mmember{}  State-comb(init;f;X)(pred(e))  {}\mRightarrow{}  R[s;f  a  s]))))
        {}\mRightarrow{}  single-valued-classrel(es;X;A)
        {}\mRightarrow{}  single-valued-bag(init  loc(e1);B)
        {}\mRightarrow{}  v1  \mmember{}  State-comb(init;f;X)(e1)
        {}\mRightarrow{}  v2  \mmember{}  State-comb(init;f;X)(e2)
        {}\mRightarrow{}  e1  \mleq{}loc  e2 
        {}\mRightarrow{}  R[v1;v2])


By

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Latex:
((UnivCD  THENA  Auto)
  THEN  D  (-1)
  THEN  Try  (Complete  (((HypSubst'  (-1)  (-3)  THENA  Auto)
                                            THEN  InstLemma  `State-comb-single-val0`  [\mkleeneopen{}Info\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}A\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}B\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}es\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}init\mkleeneclose{};
                                            \mkleeneopen{}e2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}v1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}v2\mkleeneclose{}]\mcdot{}
                                            THEN  Auto)))
  THEN  (InstLemma  `iterated-classrel-trans`  [\mkleeneopen{}Info\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}A\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}B\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}init\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}f\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}R\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}es\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e2\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}v1\mkleeneclose{};
              \mkleeneopen{}v2\mkleeneclose{}]\mcdot{}
              THENA  (Auto
                            THEN  Try  (OnSomeHyp  (\mbackslash{}h.Complete  (MaUseClassRel  h
                                                                                                THEN  (RWO  "iterated-classrel-iff"  h  THENA  Auto)
                                                                                                THEN  D  h
                                                                                                THEN  Unhide
                                                                                                THEN  Auto))\mcdot{})
                            )
              )
  THEN  Try  (Complete  ((Using  [`e',\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{}]  (BHyp  (-13))\mcdot{}
                                            THEN  Auto
                                            THEN  MaUseClassRel  0
                                            THEN  (RWO  "iterated-classrel-iff"  0  THENA  Auto)
                                            THEN  D  0
                                            THEN  Auto)))
  THEN  InstLemma  `decidable\_\_exists-classrel-between3-sv`  [\mkleeneopen{}Info\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}A\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}X\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}es\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e1\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}e2\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  Auto
  THEN  D  (-1)
  THEN  Try  (Complete  ((D  (-3)  THEN  Auto)))
  THEN  D  (-2)
  THEN  Auto
  THEN  ParallelOp  -5
  THEN  InstConcl  [\mkleeneopen{}e\mkleeneclose{}]\mcdot{}
  THEN  MaAuto)

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