---

Step * of Lemma process-ordered-message_wf

∀[M:Type]. ∀[nL:n:ℕ × {L:({n + 1...} × M) List| sorted-by(λx,y. fst(x) < fst(y);L)} ]. ∀[km:ℕ × M].
  (process-ordered-message(nL;km) ∈ {tr:({fst(nL)...} × M) List × n:{fst(nL)...} × (({n + 1...} × M) List)| 
                                     let out,n',L' = tr in 
                                     sorted-by(λx,y. fst(x) < fst(y);L')
                                     ∧ (0 < ||out|| ⇒ (((fst(km)) = (fst(nL)) ∈ ℤ) ∧ (hd(out) = km ∈ (ℕ × M))))
                                     ∧ (((fst(nL)) = (fst(km)) ∈ ℤ)
                                       ⇒ ([km / (snd(nL))] = (out @ L') ∈ (({fst(nL)...} × M) List)))
                                     ∧ (fst(nL) < fst(km)
                                       ⇒ (insert-ordered-message(snd(nL);km)
                                          = (out @ L')
                                          ∈ (({(fst(nL)) + 1...} × M) List)))
                                     ∧ (fst(km) < fst(nL)
                                       ⇒ ((↑null(out)) ∧ (L' = (snd(nL)) ∈ (({(fst(nL)) + 1...} × M) List))))} )
BY
{ ((Intros THEN Unhide)
   THEN D -2
   THEN D -1
   THEN RepUR ``process-ordered-message`` 0
   THEN RenameVar `L' (-3)
   THEN (Decide ⌈n < k1⌉⋅ THENA Auto)
   THEN (Reduce 0 THENA Auto)) }

1
1. M : Type
2. n : ℕ
3. L : {L:({n + 1...} × M) List| sorted-by(λx,y. fst(x) < fst(y);L)} 
4. k1 : ℕ
5. k2 : M
6. n < k1
⊢ eval L' = eval_list(insert-ordered-message(L;<k1, k2>)) in
  <[], n, L'> ∈ {tr:({n...} × M) List × n:{n...} × (({n + 1...} × M) List)| 
                 let out,n',L' = tr in 
                 sorted-by(λx,y. fst(x) < fst(y);L')
                 ∧ (0 < ||out|| ⇒ ((k1 = n ∈ ℤ) ∧ (hd(out) = <k1, k2> ∈ (ℕ × M))))
                 ∧ ((n = k1 ∈ ℤ) ⇒ ([<k1, k2> / L] = (out @ L') ∈ (({n...} × M) List)))
                 ∧ (n < k1 ⇒ (insert-ordered-message(L;<k1, k2>) = (out @ L') ∈ (({n + 1...} × M) List)))
                 ∧ (k1 < n ⇒ ((↑null(out)) ∧ (L' = L ∈ (({n + 1...} × M) List))))} 

2
1. M : Type
2. n : ℕ
3. L : {L:({n + 1...} × M) List| sorted-by(λx,y. fst(x) < fst(y);L)} 
4. k1 : ℕ
5. k2 : M
6. ¬n < k1
⊢ if (k1) < (n)
     then <[], n, L>
     else eval sn = n + 1 in
          if null(L) ∨bsn <z fst(hd(L))
          then <[<k1, k2>], sn, L>
          else let L1,L2 = split-maximal-consecutive(λp.(fst(p));L) 
               in eval n' = fst(last(L1)) in
                  <[<k1, k2> / L1], n', L2>
          fi  ∈ {tr:({n...} × M) List × n:{n...} × (({n + 1...} × M) List)| 
                 let out,n',L' = tr in 
                 sorted-by(λx,y. fst(x) < fst(y);L')
                 ∧ (0 < ||out|| ⇒ ((k1 = n ∈ ℤ) ∧ (hd(out) = <k1, k2> ∈ (ℕ × M))))
                 ∧ ((n = k1 ∈ ℤ) ⇒ ([<k1, k2> / L] = (out @ L') ∈ (({n...} × M) List)))
                 ∧ (n < k1 ⇒ (insert-ordered-message(L;<k1, k2>) = (out @ L') ∈ (({n + 1...} × M) List)))
                 ∧ (k1 < n ⇒ ((↑null(out)) ∧ (L' = L ∈ (({n + 1...} × M) List))))} 

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[M:Type].  \mforall{}[nL:n:\mBbbN{}  \mtimes{}  \{L:(\{n  +  1...\}  \mtimes{}  M)  List|  sorted-by(\mlambda{}x,y.  fst(x)  <  fst(y);L)\}  ].  \mforall{}[km:\mBbbN{}  \mtimes{}  M].
    (process-ordered-message(nL;km)  \mmember{}  \{tr:(\{fst(nL)...\}  \mtimes{}  M)  List
                                                                          \mtimes{}  n:\{fst(nL)...\}
                                                                          \mtimes{}  ((\{n  +  1...\}  \mtimes{}  M)  List)| 
                                                                          let  out,n',L'  =  tr  in 
                                                                          sorted-by(\mlambda{}x,y.  fst(x)  <  fst(y);L')
                                                                          \mwedge{}  (0  <  ||out||  {}\mRightarrow{}  (((fst(km))  =  (fst(nL)))  \mwedge{}  (hd(out)  =  km)))
                                                                          \mwedge{}  (((fst(nL))  =  (fst(km)))  {}\mRightarrow{}  ([km  /  (snd(nL))]  =  (out  @  L')))
                                                                          \mwedge{}  (fst(nL)  <  fst(km)
                                                                              {}\mRightarrow{}  (insert-ordered-message(snd(nL);km)  =  (out  @  L')))
                                                                          \mwedge{}  (fst(km)  <  fst(nL)  {}\mRightarrow{}  ((\muparrow{}null(out))  \mwedge{}  (L'  =  (snd(nL)))))\}  )


By

---

Latex:
((Intros  THEN  Unhide)
  THEN  D  -2
  THEN  D  -1
  THEN  RepUR  ``process-ordered-message``  0
  THEN  RenameVar  `L'  (-3)
  THEN  (Decide  \mkleeneopen{}n  <  k1\mkleeneclose{}\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  (Reduce  0  THENA  Auto))

---

Home Index