---

Step * of Lemma Q-R-glues-composes

∀[Info:Type]
  ∀es:EO+(Info)
    ∀[Qa,Rb,Sc:E ─→ E ─→ ℙ]. ∀[A,B,C:Type].
      ∀Ia:EClass(A). ∀Ib:EClass(B). ∀Ic:EClass(C). ∀f1:E(Ia) ─→ B. ∀f2:B ─→ C. ∀g1:E(Ib) ─→ E(Ia). ∀g2:E(Ic) ─→ E(Ib).
        ((g1 glues Ia:Qa ──f1─→ Ib:Rb ∧ g2 glues Ib:Rb ──λe.(f2 Ib(e))─→ Ic:Sc)
        ⇒ g1 o g2 glues Ia:Qa ──f2 o f1─→ Ic:Sc)
BY
{ (Auto THEN All (RepUR ``Q-R-glues es-interface-predicate``) THEN Auto) }

1
1. [Info] : Type
2. es : EO+(Info)@i'
3. [Qa] : E ─→ E ─→ ℙ
4. [Rb] : E ─→ E ─→ ℙ
5. [Sc] : E ─→ E ─→ ℙ
6. [A] : Type
7. [B] : Type
8. [C] : Type
9. Ia : EClass(A)@i'
10. Ib : EClass(B)@i'
11. Ic : EClass(C)@i'
12. f1 : E(Ia) ─→ B@i
13. f2 : B ─→ C@i
14. g1 : E(Ib) ─→ E(Ia)@i
15. g2 : E(Ic) ─→ E(Ib)@i
16. λe.(↑e ∈b Ia) ←←= g1== λe.(↑e ∈b Ib)@i
17. g1 is Qa-Rb-pre-preserving on λe.(↑e ∈b Ib)@i
18. Inj(E(Ib);E;g1)@i
19. ∀e:E(Ib). ((f1 (g1 e)) = Ib(e) ∈ B)@i
20. λe.(↑e ∈b Ib) ←←= g2== λe.(↑e ∈b Ic)@i
21. g2 is Rb-Sc-pre-preserving on λe.(↑e ∈b Ic)@i
22. Inj(E(Ic);E;g2)@i
23. ∀e:E(Ic). ((f2 Ib(g2 e)) = Ic(e) ∈ C)@i
⊢ λe.(↑e ∈b Ia) ←←= g1 o g2== λe.(↑e ∈b Ic)

2
1. [Info] : Type
2. es : EO+(Info)@i'
3. [Qa] : E ─→ E ─→ ℙ
4. [Rb] : E ─→ E ─→ ℙ
5. [Sc] : E ─→ E ─→ ℙ
6. [A] : Type
7. [B] : Type
8. [C] : Type
9. Ia : EClass(A)@i'
10. Ib : EClass(B)@i'
11. Ic : EClass(C)@i'
12. f1 : E(Ia) ─→ B@i
13. f2 : B ─→ C@i
14. g1 : E(Ib) ─→ E(Ia)@i
15. g2 : E(Ic) ─→ E(Ib)@i
16. λe.(↑e ∈b Ia) ←←= g1== λe.(↑e ∈b Ib)@i
17. g1 is Qa-Rb-pre-preserving on λe.(↑e ∈b Ib)@i
18. Inj(E(Ib);E;g1)@i
19. ∀e:E(Ib). ((f1 (g1 e)) = Ib(e) ∈ B)@i
20. λe.(↑e ∈b Ib) ←←= g2== λe.(↑e ∈b Ic)@i
21. g2 is Rb-Sc-pre-preserving on λe.(↑e ∈b Ic)@i
22. Inj(E(Ic);E;g2)@i
23. ∀e:E(Ic). ((f2 Ib(g2 e)) = Ic(e) ∈ C)@i
24. λe.(↑e ∈b Ia) ←←= g1 o g2== λe.(↑e ∈b Ic)
⊢ g1 o g2 is Qa-Sc-pre-preserving on λe.(↑e ∈b Ic)

3
1. [Info] : Type
2. es : EO+(Info)@i'
3. [Qa] : E ─→ E ─→ ℙ
4. [Rb] : E ─→ E ─→ ℙ
5. [Sc] : E ─→ E ─→ ℙ
6. [A] : Type
7. [B] : Type
8. [C] : Type
9. Ia : EClass(A)@i'
10. Ib : EClass(B)@i'
11. Ic : EClass(C)@i'
12. f1 : E(Ia) ─→ B@i
13. f2 : B ─→ C@i
14. g1 : E(Ib) ─→ E(Ia)@i
15. g2 : E(Ic) ─→ E(Ib)@i
16. λe.(↑e ∈b Ia) ←←= g1== λe.(↑e ∈b Ib)@i
17. g1 is Qa-Rb-pre-preserving on λe.(↑e ∈b Ib)@i
18. Inj(E(Ib);E;g1)@i
19. ∀e:E(Ib). ((f1 (g1 e)) = Ib(e) ∈ B)@i
20. λe.(↑e ∈b Ib) ←←= g2== λe.(↑e ∈b Ic)@i
21. g2 is Rb-Sc-pre-preserving on λe.(↑e ∈b Ic)@i
22. Inj(E(Ic);E;g2)@i
23. ∀e:E(Ic). ((f2 Ib(g2 e)) = Ic(e) ∈ C)@i
24. λe.(↑e ∈b Ia) ←←= g1 o g2== λe.(↑e ∈b Ic)
25. g1 o g2 is Qa-Sc-pre-preserving on λe.(↑e ∈b Ic)
⊢ Inj(E(Ic);E;g1 o g2)

---

Latex:

---

Latex:
\mforall{}[Info:Type]
    \mforall{}es:EO+(Info)
        \mforall{}[Qa,Rb,Sc:E  {}\mrightarrow{}  E  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}].  \mforall{}[A,B,C:Type].
            \mforall{}Ia:EClass(A).  \mforall{}Ib:EClass(B).  \mforall{}Ic:EClass(C).  \mforall{}f1:E(Ia)  {}\mrightarrow{}  B.  \mforall{}f2:B  {}\mrightarrow{}  C.  \mforall{}g1:E(Ib)  {}\mrightarrow{}  E(Ia).
            \mforall{}g2:E(Ic)  {}\mrightarrow{}  E(Ib).
                ((g1  glues  Ia:Qa  {}{}f1{}\mrightarrow{}  Ib:Rb  \mwedge{}  g2  glues  Ib:Rb  {}{}\mlambda{}e.(f2  Ib(e)){}\mrightarrow{}  Ic:Sc)
                {}\mRightarrow{}  g1  o  g2  glues  Ia:Qa  {}{}f2  o  f1{}\mrightarrow{}  Ic:Sc)


By

---

Latex:
(Auto  THEN  All  (RepUR  ``Q-R-glues  es-interface-predicate``)  THEN  Auto)

---

Home Index