---

Step * 2 2 1 1 1 of Lemma archive-consensus-accum-num


1. V : Type
2. A : Id List
3. t : ℕ+
4. f : (V List) ─→ V
5. v0 : V
6. IdDeq ∈ EqDecider({b:Id| (b ∈ A)} )
7. ys : consensus-rcv(V;A) List@i
8. y2 : {b:Id| (b ∈ A)} @i
9. y4 : ℕ@i
10. y5 : V@i
11. Vote[y2;y4;y5] ∈ consensus-rcv(V;A)
12. v1 : 𝔹@i
13. v3 : ℤ@i
14. v5 : {a:Id| (a ∈ A)}  List@i
15. v7 : V List@i
16. v8 : V@i
17. consensus-accum-num-state(t;f;v0;ys) = <v1, v3, v5, v7, v8> ∈ (𝔹 × ℤ × {a:Id| (a ∈ A)}  List × V List × V)@i
18. y4 < v3 - 1
19. ∀[v@0:V]. ∀[i:ℤ].  ↑v1 supposing archive-condition(V;A;t;f;i;v@0;ys)@i
20. filter(λr.v3 - 1 <z inning(r);ys) = [] ∈ (consensus-rcv(V;A) List)@i
21. ||v5|| = ||v7|| ∈ ℤ@i
22. zip(v5;v7) = votes-from-inning(v3 - 1;ys) ∈ (({b:Id| (b ∈ A)}  × V) List)@i
23. 0 ≤ v3@i
24. 1 ≤ v3 supposing ¬↑null(ys)@i
25. ||values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning(v3 - 1;ys))|| ≤ (2 * t)@i
26. filter(λr.v3 - 1 <z inning(r);ys @ [Vote[y2;y4;y5]]) = [] ∈ (consensus-rcv(V;A) List)@i
27. ||v5|| = ||v7|| ∈ ℤ@i
28. zip(v5;v7) = votes-from-inning(v3 - 1;ys @ [Vote[y2;y4;y5]]) ∈ (({b:Id| (b ∈ A)}  × V) List)@i
29. 0 ≤ v3@i
30. 1 ≤ v3 supposing ¬↑null(ys @ [Vote[y2;y4;y5]])@i
31. ||values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning(v3 - 1;ys @ [Vote[y2;y4;y5]]))|| ≤ (2 * t)@i
32. v@0 : V
33. i : ℤ
34. v3 - 1 ∈ ℤ
35. 0 < v3 - 1
36. ||values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning(v3 - 1 - 1;ys))|| ≤ (2 * t)
37. ↑null(filter(λr.v3 - 1 - 1 <z inning(r);ys))
38. ((2 * t) + 1) ≤ ||values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning(v3 - 1 - 1;ys @ [Vote[y2;y4;y5]]))||
39. (f values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning(v3 - 1 - 1;ys @ [Vote[y2;y4;y5]]))) = v@0 ∈ V
40. v3 - 1 < v3
41. votes-from-inning(v3 - 1;ys) ~ []
42. ((2 * t) + 1) ≤ ||remove-repeats(IdDeq;map(λp.(fst(p));votes-from-inning(v3 - 2;ys)))||
43. ¬v3 - 1 < v3 - 1
⊢ False
BY
{ OnMaybeHyp 36 (\h. (RepUR ``values-for-distinct`` h
                      THEN (RWO "length-map" h THENA Auto)
                      THEN Subst' v3 - 1 - 1 ~ v3 - 2 h
                      THEN Complete (Auto))) }

---

Latex:



1.  V  :  Type
2.  A  :  Id  List
3.  t  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  f  :  (V  List)  {}\mrightarrow{}  V
5.  v0  :  V
6.  IdDeq  \mmember{}  EqDecider(\{b:Id|  (b  \mmember{}  A)\}  )
7.  ys  :  consensus-rcv(V;A)  List@i
8.  y2  :  \{b:Id|  (b  \mmember{}  A)\}  @i
9.  y4  :  \mBbbN{}@i
10.  y5  :  V@i
11.  Vote[y2;y4;y5]  \mmember{}  consensus-rcv(V;A)
12.  v1  :  \mBbbB{}@i
13.  v3  :  \mBbbZ{}@i
14.  v5  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List@i
15.  v7  :  V  List@i
16.  v8  :  V@i
17.  consensus-accum-num-state(t;f;v0;ys)  =  <v1,  v3,  v5,  v7,  v8>@i
18.  y4  <  v3  -  1
19.  \mforall{}[v@0:V].  \mforall{}[i:\mBbbZ{}].    \muparrow{}v1  supposing  archive-condition(V;A;t;f;i;v@0;ys)@i
20.  filter(\mlambda{}r.v3  -  1  <z  inning(r);ys)  =  []@i
21.  ||v5||  =  ||v7||@i
22.  zip(v5;v7)  =  votes-from-inning(v3  -  1;ys)@i
23.  0  \mleq{}  v3@i
24.  1  \mleq{}  v3  supposing  \mneg{}\muparrow{}null(ys)@i
25.  ||values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning(v3  -  1;ys))||  \mleq{}  (2  *  t)@i
26.  filter(\mlambda{}r.v3  -  1  <z  inning(r);ys  @  [Vote[y2;y4;y5]])  =  []@i
27.  ||v5||  =  ||v7||@i
28.  zip(v5;v7)  =  votes-from-inning(v3  -  1;ys  @  [Vote[y2;y4;y5]])@i
29.  0  \mleq{}  v3@i
30.  1  \mleq{}  v3  supposing  \mneg{}\muparrow{}null(ys  @  [Vote[y2;y4;y5]])@i
31.  ||values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning(v3  -  1;ys  @  [Vote[y2;y4;y5]]))||  \mleq{}  (2  *  t)@i
32.  v@0  :  V
33.  i  :  \mBbbZ{}
34.  v3  -  1  \mmember{}  \mBbbZ{}
35.  0  <  v3  -  1
36.  ||values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning(v3  -  1  -  1;ys))||  \mleq{}  (2  *  t)
37.  \muparrow{}null(filter(\mlambda{}r.v3  -  1  -  1  <z  inning(r);ys))
38.  ((2  *  t)  +  1)  \mleq{}  ||values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning(v3  -  1  -  1;ys
        @  [Vote[y2;y4;y5]]))||
39.  (f  values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning(v3  -  1  -  1;ys  @  [Vote[y2;y4;y5]])))  =  v@0
40.  v3  -  1  <  v3
41.  votes-from-inning(v3  -  1;ys)  \msim{}  []
42.  ((2  *  t)  +  1)  \mleq{}  ||remove-repeats(IdDeq;map(\mlambda{}p.(fst(p));votes-from-inning(v3  -  2;ys)))||
43.  \mneg{}v3  -  1  <  v3  -  1
\mvdash{}  False


By

OnMaybeHyp  36  (\mbackslash{}h.  (RepUR  ``values-for-distinct``  h
                                        THEN  (RWO  "length-map"  h  THENA  Auto)
                                        THEN  Subst'  v3  -  1  -  1  \msim{}  v3  -  2  h
                                        THEN  Complete  (Auto)))

---

Home Index