---

Step * 2 3 1 1 of Lemma archive-consensus-accum-num


1. V : Type
2. A : Id List
3. t : ℕ+
4. f : (V List) ─→ V
5. v0 : V
6. IdDeq ∈ EqDecider({b:Id| (b ∈ A)} )
7. ys : consensus-rcv(V;A) List@i
8. y2 : {b:Id| (b ∈ A)} @i
9. y4 : ℕ@i
10. y5 : V@i
11. Vote[y2;y4;y5] ∈ consensus-rcv(V;A)
12. v1 : 𝔹@i
13. v3 : ℤ@i
14. v5 : {a:Id| (a ∈ A)}  List@i
15. v7 : V List@i
16. v8 : V@i
17. consensus-accum-num-state(t;f;v0;ys) = <v1, v3, v5, v7, v8> ∈ (𝔹 × ℤ × {a:Id| (a ∈ A)}  List × V List × V)@i
18. (v3 - 1) ≤ y4
19. y4 ≤ (v3 - 1)
20. ¬(||remove-repeats(IdDeq;v5 @ [y2])|| = ((2 * t) + 1) ∈ ℤ)
21. ∀[v@0:V]. ∀[i:ℤ].  ↑v1 supposing archive-condition(V;A;t;f;i;v@0;ys)@i
22. filter(λr.v3 - 1 <z inning(r);ys) = [] ∈ (consensus-rcv(V;A) List)@i
23. ||v5|| = ||v7|| ∈ ℤ@i
24. zip(v5;v7) = votes-from-inning(v3 - 1;ys) ∈ (({b:Id| (b ∈ A)}  × V) List)@i
25. 0 ≤ v3@i
26. 1 ≤ v3 supposing ¬↑null(ys)@i
27. ||values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning(v3 - 1;ys))|| ≤ (2 * t)@i
28. filter(λr.v3 - 1 <z inning(r);ys @ [Vote[y2;y4;y5]]) = [] ∈ (consensus-rcv(V;A) List)@i
29. ||v5 @ [y2]|| = ||v7 @ [y5]|| ∈ ℤ@i
30. zip(v5 @ [y2];v7 @ [y5]) = votes-from-inning(v3 - 1;ys @ [Vote[y2;y4;y5]]) ∈ (({b:Id| (b ∈ A)}  × V) List)@i
31. 0 ≤ v3@i
32. 1 ≤ v3 supposing ¬↑null(ys @ [Vote[y2;y4;y5]])@i
33. ||values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning(v3 - 1;ys @ [Vote[y2;y4;y5]]))|| ≤ (2 * t)@i
34. v@0 : V
35. i : ℤ
36. y4 ∈ ℤ
37. 0 < y4
38. ||values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning(y4 - 1;ys))|| ≤ (2 * t)
39. ↑null(filter(λr.y4 - 1 <z inning(r);ys))
40. v@0 = y5 ∈ V
41. y4 < v3
42. votes-from-inning(v3 - 1;ys) ~ []
43. ((2 * t) + 1) ≤ ||remove-repeats(IdDeq;map(λp.(fst(p));votes-from-inning(v3 - 2;ys)))||
44. ¬y4 < v3 - 1
45. y4 = (v3 - 1) ∈ ℤ
⊢ False
BY
{ OnMaybeHyp 38 (\h. (RepUR ``values-for-distinct`` h
                      THEN (RWO "length-map" h THENA Auto)
                      THEN Subst' y4 - 1 ~ v3 - 2 h
                      THEN Auto)) }

---

Latex:



1.  V  :  Type
2.  A  :  Id  List
3.  t  :  \mBbbN{}\msupplus{}
4.  f  :  (V  List)  {}\mrightarrow{}  V
5.  v0  :  V
6.  IdDeq  \mmember{}  EqDecider(\{b:Id|  (b  \mmember{}  A)\}  )
7.  ys  :  consensus-rcv(V;A)  List@i
8.  y2  :  \{b:Id|  (b  \mmember{}  A)\}  @i
9.  y4  :  \mBbbN{}@i
10.  y5  :  V@i
11.  Vote[y2;y4;y5]  \mmember{}  consensus-rcv(V;A)
12.  v1  :  \mBbbB{}@i
13.  v3  :  \mBbbZ{}@i
14.  v5  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List@i
15.  v7  :  V  List@i
16.  v8  :  V@i
17.  consensus-accum-num-state(t;f;v0;ys)  =  <v1,  v3,  v5,  v7,  v8>@i
18.  (v3  -  1)  \mleq{}  y4
19.  y4  \mleq{}  (v3  -  1)
20.  \mneg{}(||remove-repeats(IdDeq;v5  @  [y2])||  =  ((2  *  t)  +  1))
21.  \mforall{}[v@0:V].  \mforall{}[i:\mBbbZ{}].    \muparrow{}v1  supposing  archive-condition(V;A;t;f;i;v@0;ys)@i
22.  filter(\mlambda{}r.v3  -  1  <z  inning(r);ys)  =  []@i
23.  ||v5||  =  ||v7||@i
24.  zip(v5;v7)  =  votes-from-inning(v3  -  1;ys)@i
25.  0  \mleq{}  v3@i
26.  1  \mleq{}  v3  supposing  \mneg{}\muparrow{}null(ys)@i
27.  ||values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning(v3  -  1;ys))||  \mleq{}  (2  *  t)@i
28.  filter(\mlambda{}r.v3  -  1  <z  inning(r);ys  @  [Vote[y2;y4;y5]])  =  []@i
29.  ||v5  @  [y2]||  =  ||v7  @  [y5]||@i
30.  zip(v5  @  [y2];v7  @  [y5])  =  votes-from-inning(v3  -  1;ys  @  [Vote[y2;y4;y5]])@i
31.  0  \mleq{}  v3@i
32.  1  \mleq{}  v3  supposing  \mneg{}\muparrow{}null(ys  @  [Vote[y2;y4;y5]])@i
33.  ||values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning(v3  -  1;ys  @  [Vote[y2;y4;y5]]))||  \mleq{}  (2  *  t)@i
34.  v@0  :  V
35.  i  :  \mBbbZ{}
36.  y4  \mmember{}  \mBbbZ{}
37.  0  <  y4
38.  ||values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning(y4  -  1;ys))||  \mleq{}  (2  *  t)
39.  \muparrow{}null(filter(\mlambda{}r.y4  -  1  <z  inning(r);ys))
40.  v@0  =  y5
41.  y4  <  v3
42.  votes-from-inning(v3  -  1;ys)  \msim{}  []
43.  ((2  *  t)  +  1)  \mleq{}  ||remove-repeats(IdDeq;map(\mlambda{}p.(fst(p));votes-from-inning(v3  -  2;ys)))||
44.  \mneg{}y4  <  v3  -  1
45.  y4  =  (v3  -  1)
\mvdash{}  False


By

OnMaybeHyp  38  (\mbackslash{}h.  (RepUR  ``values-for-distinct``  h
                                        THEN  (RWO  "length-map"  h  THENA  Auto)
                                        THEN  Subst'  y4  -  1  \msim{}  v3  -  2  h
                                        THEN  Auto))

---

Home Index