---

Step * 2 3 2 2 1 1 2 of Lemma consensus-accum-num-archives


1. [V] : Type
2. A : Id List@i
3. t : ℕ+@i
4. f : (V List) ─→ V@i
5. v0 : V@i
6. IdDeq ∈ EqDecider({b:Id| (b ∈ A)} )
7. ys : consensus-rcv(V;A) List@i
8. y2 : {b:Id| (b ∈ A)} @i
9. y4 : ℕ@i
10. y5 : V@i
11. Vote[y2;y4;y5] ∈ consensus-rcv(V;A)
12. v1 : 𝔹@i
13. v3 : ℤ@i
14. v5 : {a:Id| (a ∈ A)}  List@i
15. v7 : V List@i
16. v8 : V@i
17. consensus-accum-num-state(t;f;v0;ys) = <v1, v3, v5, v7, v8> ∈ (𝔹 × ℤ × {a:Id| (a ∈ A)}  List × V List × V)@i
18. archive-condition(V;A;t;f;v3 - 1;v8;ys) supposing ↑v1@i
19. (v3 - 1) ≤ y4
20. y4 ≤ (v3 - 1)
21. ||remove-repeats(IdDeq;v5 @ [y2])|| = ((2 * t) + 1) ∈ ℤ
22. filter(λr.v3 - 1 <z inning(r);ys) = [] ∈ (consensus-rcv(V;A) List)@i
23. ||v5|| = ||v7|| ∈ ℤ@i
24. zip(v5;v7) = votes-from-inning(v3 - 1;ys) ∈ (({b:Id| (b ∈ A)}  × V) List)@i
25. 0 ≤ v3@i
26. 1 ≤ v3 supposing ¬↑null(ys)@i
27. ||values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning(v3 - 1;ys))|| ≤ (2 * t)@i
28. filter(λr.(v3 + 1) - 1 <z inning(r);ys @ [Vote[y2;y4;y5]]) = [] ∈ (consensus-rcv(V;A) List)@i
29. 0 = 0 ∈ ℤ@i
30. [] = votes-from-inning((v3 + 1) - 1;ys @ [Vote[y2;y4;y5]]) ∈ (({b:Id| (b ∈ A)}  × V) List)@i
31. 0 ≤ (v3 + 1)@i
32. 1 ≤ (v3 + 1) supposing ¬↑null(ys @ [Vote[y2;y4;y5]])@i
33. ||values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning((v3 + 1) - 1;ys @ [Vote[y2;y4;y5]]))|| ≤ (2 * t)@i
34. True
35. 0 < (v3 + 1) - 1
36. ||values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning((v3 + 1) - 1 - 1;ys))|| ≤ (2 * t)
37. ↑null(filter(λr.(v3 + 1) - 1 - 1 <z inning(r);ys))
38. votes-from-inning(v3 - 1;ys @ [Vote[y2;y4;y5]]) = zip(v5 @ [y2];v7 @ [y5]) ∈ (({b:Id| (b ∈ A)}  × V) List)
⊢ ((2 * t) + 1) ≤ ||remove-repeats(IdDeq;map(λp.(fst(p));votes-from-inning(v3 - 1;ys @ [Vote[y2;y4;y5]])))||
BY
{ HypSubst' (-1) 0 }

1
1. [V] : Type
2. A : Id List@i
3. t : ℕ+@i
4. f : (V List) ─→ V@i
5. v0 : V@i
6. IdDeq ∈ EqDecider({b:Id| (b ∈ A)} )
7. ys : consensus-rcv(V;A) List@i
8. y2 : {b:Id| (b ∈ A)} @i
9. y4 : ℕ@i
10. y5 : V@i
11. Vote[y2;y4;y5] ∈ consensus-rcv(V;A)
12. v1 : 𝔹@i
13. v3 : ℤ@i
14. v5 : {a:Id| (a ∈ A)}  List@i
15. v7 : V List@i
16. v8 : V@i
17. consensus-accum-num-state(t;f;v0;ys) = <v1, v3, v5, v7, v8> ∈ (𝔹 × ℤ × {a:Id| (a ∈ A)}  List × V List × V)@i
18. archive-condition(V;A;t;f;v3 - 1;v8;ys) supposing ↑v1@i
19. (v3 - 1) ≤ y4
20. y4 ≤ (v3 - 1)
21. ||remove-repeats(IdDeq;v5 @ [y2])|| = ((2 * t) + 1) ∈ ℤ
22. filter(λr.v3 - 1 <z inning(r);ys) = [] ∈ (consensus-rcv(V;A) List)@i
23. ||v5|| = ||v7|| ∈ ℤ@i
24. zip(v5;v7) = votes-from-inning(v3 - 1;ys) ∈ (({b:Id| (b ∈ A)}  × V) List)@i
25. 0 ≤ v3@i
26. 1 ≤ v3 supposing ¬↑null(ys)@i
27. ||values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning(v3 - 1;ys))|| ≤ (2 * t)@i
28. filter(λr.(v3 + 1) - 1 <z inning(r);ys @ [Vote[y2;y4;y5]]) = [] ∈ (consensus-rcv(V;A) List)@i
29. 0 = 0 ∈ ℤ@i
30. [] = votes-from-inning((v3 + 1) - 1;ys @ [Vote[y2;y4;y5]]) ∈ (({b:Id| (b ∈ A)}  × V) List)@i
31. 0 ≤ (v3 + 1)@i
32. 1 ≤ (v3 + 1) supposing ¬↑null(ys @ [Vote[y2;y4;y5]])@i
33. ||values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning((v3 + 1) - 1;ys @ [Vote[y2;y4;y5]]))|| ≤ (2 * t)@i
34. True
35. 0 < (v3 + 1) - 1
36. ||values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning((v3 + 1) - 1 - 1;ys))|| ≤ (2 * t)
37. ↑null(filter(λr.(v3 + 1) - 1 - 1 <z inning(r);ys))
38. votes-from-inning(v3 - 1;ys @ [Vote[y2;y4;y5]]) = zip(v5 @ [y2];v7 @ [y5]) ∈ (({b:Id| (b ∈ A)}  × V) List)
⊢ ((2 * t) + 1) ≤ ||remove-repeats(IdDeq;map(λp.(fst(p));zip(v5 @ [y2];v7 @ [y5])))||

---

Latex:



1.  [V]  :  Type
2.  A  :  Id  List@i
3.  t  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
4.  f  :  (V  List)  {}\mrightarrow{}  V@i
5.  v0  :  V@i
6.  IdDeq  \mmember{}  EqDecider(\{b:Id|  (b  \mmember{}  A)\}  )
7.  ys  :  consensus-rcv(V;A)  List@i
8.  y2  :  \{b:Id|  (b  \mmember{}  A)\}  @i
9.  y4  :  \mBbbN{}@i
10.  y5  :  V@i
11.  Vote[y2;y4;y5]  \mmember{}  consensus-rcv(V;A)
12.  v1  :  \mBbbB{}@i
13.  v3  :  \mBbbZ{}@i
14.  v5  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List@i
15.  v7  :  V  List@i
16.  v8  :  V@i
17.  consensus-accum-num-state(t;f;v0;ys)  =  <v1,  v3,  v5,  v7,  v8>@i
18.  archive-condition(V;A;t;f;v3  -  1;v8;ys)  supposing  \muparrow{}v1@i
19.  (v3  -  1)  \mleq{}  y4
20.  y4  \mleq{}  (v3  -  1)
21.  ||remove-repeats(IdDeq;v5  @  [y2])||  =  ((2  *  t)  +  1)
22.  filter(\mlambda{}r.v3  -  1  <z  inning(r);ys)  =  []@i
23.  ||v5||  =  ||v7||@i
24.  zip(v5;v7)  =  votes-from-inning(v3  -  1;ys)@i
25.  0  \mleq{}  v3@i
26.  1  \mleq{}  v3  supposing  \mneg{}\muparrow{}null(ys)@i
27.  ||values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning(v3  -  1;ys))||  \mleq{}  (2  *  t)@i
28.  filter(\mlambda{}r.(v3  +  1)  -  1  <z  inning(r);ys  @  [Vote[y2;y4;y5]])  =  []@i
29.  0  =  0@i
30.  []  =  votes-from-inning((v3  +  1)  -  1;ys  @  [Vote[y2;y4;y5]])@i
31.  0  \mleq{}  (v3  +  1)@i
32.  1  \mleq{}  (v3  +  1)  supposing  \mneg{}\muparrow{}null(ys  @  [Vote[y2;y4;y5]])@i
33.  ||values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning((v3  +  1)  -  1;ys  @  [Vote[y2;y4;y5]]))||  \mleq{}  (2  *  t)@i
34.  True
35.  0  <  (v3  +  1)  -  1
36.  ||values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning((v3  +  1)  -  1  -  1;ys))||  \mleq{}  (2  *  t)
37.  \muparrow{}null(filter(\mlambda{}r.(v3  +  1)  -  1  -  1  <z  inning(r);ys))
38.  votes-from-inning(v3  -  1;ys  @  [Vote[y2;y4;y5]])  =  zip(v5  @  [y2];v7  @  [y5])
\mvdash{}  ((2  *  t)  +  1)  \mleq{}  ||remove-repeats(IdDeq;map(\mlambda{}p.(fst(p));votes-from-inning(v3  -  1;ys
                                                                                          @  [Vote[y2;y4;y5]])))||


By

HypSubst'  (-1)  0

---

Home Index