---

Step * 2 2 2 2 1 of Lemma consensus-accum-num-property3


1. V : Type
2. A : Id List@i
3. t : ℕ+@i
4. f : (V List) ─→ V@i
5. v0 : V@i
6. IdDeq ∈ EqDecider({b:Id| (b ∈ A)} )
7. ys : consensus-rcv(V;A) List@i
8. y2 : {b:Id| (b ∈ A)} @i
9. y4 : ℕ@i
10. y5 : V@i
11. Vote[y2;y4;y5] ∈ consensus-rcv(V;A)
12. v1 : 𝔹@i
13. v3 : ℤ@i
14. v5 : {a:Id| (a ∈ A)}  List@i
15. v7 : V List@i
16. v8 : V@i
17. consensus-accum-num-state(t;f;v0;ys) = <v1, v3, v5, v7, v8> ∈ (𝔹 × ℤ × {a:Id| (a ∈ A)}  List × V List × V)@i
18. if v1 then archive-condition(V;A;t;f;v3 - 1;v8;ys) else ∀v:V. (¬archive-condition(V;A;t;f;v3;v;ys)) fi @i
19. (v3 - 1) ≤ y4
20. v3 - 1 < y4
21. filter(λr.v3 - 1 <z inning(r);ys) = [] ∈ (consensus-rcv(V;A) List)@i
22. ||v5|| = ||v7|| ∈ ℤ@i
23. zip(v5;v7) = votes-from-inning(v3 - 1;ys) ∈ (({b:Id| (b ∈ A)}  × V) List)@i
24. 0 ≤ v3@i
25. ||values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning(v3 - 1;ys))|| ≤ (2 * t)@i
26. filter(λr.(y4 + 1) - 1 <z inning(r);ys @ [Vote[y2;y4;y5]]) = [] ∈ (consensus-rcv(V;A) List)@i
27. 1 = 1 ∈ ℤ@i
28. [<y2, y5>] = votes-from-inning((y4 + 1) - 1;ys @ [Vote[y2;y4;y5]]) ∈ (({b:Id| (b ∈ A)}  × V) List)@i
29. 0 ≤ (y4 + 1)@i
30. 1 ≤ (y4 + 1) supposing ¬↑null(ys @ [Vote[y2;y4;y5]])@i
31. ||values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning((y4 + 1) - 1;ys @ [Vote[y2;y4;y5]]))|| ≤ (2 * t)@i
32. ¬↑null(ys)
33. 1 ≤ v3
34. 0 < (y4 + 1) - 1
35. ||values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning((y4 + 1) - 1 - 1;ys))|| ≤ (2 * t)
⊢ filter(λr.(y4 + 1) - 1 - 1 <z inning(r);ys) = [] ∈ (consensus-rcv(V;A) List)
BY
{ OnMaybeHyp 21 (\h. ((Using [`i',⌈(y4 + 1) - 1 - 1⌉] (FLemma `rcvd-innings-nil` [h])⋅ THENA Auto')
                      THEN HypSubst' -1 0
                      THEN Complete (Auto))) }

---

Latex:



1.  V  :  Type
2.  A  :  Id  List@i
3.  t  :  \mBbbN{}\msupplus{}@i
4.  f  :  (V  List)  {}\mrightarrow{}  V@i
5.  v0  :  V@i
6.  IdDeq  \mmember{}  EqDecider(\{b:Id|  (b  \mmember{}  A)\}  )
7.  ys  :  consensus-rcv(V;A)  List@i
8.  y2  :  \{b:Id|  (b  \mmember{}  A)\}  @i
9.  y4  :  \mBbbN{}@i
10.  y5  :  V@i
11.  Vote[y2;y4;y5]  \mmember{}  consensus-rcv(V;A)
12.  v1  :  \mBbbB{}@i
13.  v3  :  \mBbbZ{}@i
14.  v5  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List@i
15.  v7  :  V  List@i
16.  v8  :  V@i
17.  consensus-accum-num-state(t;f;v0;ys)  =  <v1,  v3,  v5,  v7,  v8>@i
18.  if  v1
then  archive-condition(V;A;t;f;v3  -  1;v8;ys)
else  \mforall{}v:V.  (\mneg{}archive-condition(V;A;t;f;v3;v;ys))
fi  @i
19.  (v3  -  1)  \mleq{}  y4
20.  v3  -  1  <  y4
21.  filter(\mlambda{}r.v3  -  1  <z  inning(r);ys)  =  []@i
22.  ||v5||  =  ||v7||@i
23.  zip(v5;v7)  =  votes-from-inning(v3  -  1;ys)@i
24.  0  \mleq{}  v3@i
25.  ||values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning(v3  -  1;ys))||  \mleq{}  (2  *  t)@i
26.  filter(\mlambda{}r.(y4  +  1)  -  1  <z  inning(r);ys  @  [Vote[y2;y4;y5]])  =  []@i
27.  1  =  1@i
28.  [<y2,  y5>]  =  votes-from-inning((y4  +  1)  -  1;ys  @  [Vote[y2;y4;y5]])@i
29.  0  \mleq{}  (y4  +  1)@i
30.  1  \mleq{}  (y4  +  1)  supposing  \mneg{}\muparrow{}null(ys  @  [Vote[y2;y4;y5]])@i
31.  ||values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning((y4  +  1)  -  1;ys  @  [Vote[y2;y4;y5]]))||  \mleq{}  (2  *  t)@i
32.  \mneg{}\muparrow{}null(ys)
33.  1  \mleq{}  v3
34.  0  <  (y4  +  1)  -  1
35.  ||values-for-distinct(IdDeq;votes-from-inning((y4  +  1)  -  1  -  1;ys))||  \mleq{}  (2  *  t)
\mvdash{}  filter(\mlambda{}r.(y4  +  1)  -  1  -  1  <z  inning(r);ys)  =  []


By

OnMaybeHyp  21  (\mbackslash{}h.  ((Using  [`i',\mkleeneopen{}(y4  +  1)  -  1  -  1\mkleeneclose{}]  (FLemma  `rcvd-innings-nil`  [h])\mcdot{}  THENA  Auto')
                                        THEN  HypSubst'  -1  0
                                        THEN  Complete  (Auto)))

---

Home Index