---

Step * 1 1 1 of Lemma consensus-ts4-ref-map1


1. [V] : Type
2. ∃v,v':V. (¬(v = v' ∈ V))@i
3. ∀v,v':V.  Dec(v = v' ∈ V)@i
4. A : Id List@i
5. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
6. two-intersection(A;W)@i
7. one-intersection(A;W)
8. s : ConsensusState@i
9. i : ℤ@i
10. Dec(∃v,v':V. ((¬(v = v' ∈ V)) ∧ in state s, inning i could commit v  ∧ in state s, inning i could commit v' ))
11. ∀v:V. Dec(in state s, inning i has committed v)
12. v : V
13. in state s, inning i could commit v 
14. in state s, inning i has committed v
⊢ ∃x:consensus-state3(V)
   ((x = INITIAL ∈ consensus-state3(V)
    ⇐⇒ ∃v,v':V. ((¬(v = v' ∈ V)) ∧ in state s, inning i could commit v  ∧ in state s, inning i could commit v' ))
   ∧ (x = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V) ⇐⇒ ¬(∃v:V. in state s, inning i could commit v ))
   ∧ (∀v:V
        ((x = COMMITED[v] ∈ consensus-state3(V) ⇐⇒ in state s, inning i has committed v)
        ∧ (x = CONSIDERING[v] ∈ consensus-state3(V)
          ⇐⇒ in state s, inning i could commit v 
              ∧ (¬in state s, inning i has committed v)
              ∧ (∀v':V. (in state s, inning i could commit v'  ⇒ (v' = v ∈ V)))))))
BY
{ ((InstLemma `consensus-state3-unequal` [⌈V⌉]⋅ THENA Auto) THEN D -1 THEN InstHyp [⌈v⌉] (-1)⋅ THEN Auto) }

1
1. [V] : Type
2. ∃v,v':V. (¬(v = v' ∈ V))@i
3. ∀v,v':V.  Dec(v = v' ∈ V)@i
4. A : Id List@i
5. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
6. two-intersection(A;W)@i
7. one-intersection(A;W)
8. s : ConsensusState@i
9. i : ℤ@i
10. Dec(∃v,v':V. ((¬(v = v' ∈ V)) ∧ in state s, inning i could commit v  ∧ in state s, inning i could commit v' ))
11. ∀v:V. Dec(in state s, inning i has committed v)
12. v : V
13. in state s, inning i could commit v 
14. in state s, inning i has committed v
15. ¬(INITIAL = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V))
16. ∀[v:V]
      (((¬(COMMITED[v] = INITIAL ∈ consensus-state3(V))) ∧ (¬(CONSIDERING[v] = INITIAL ∈ consensus-state3(V))))
      ∧ (¬(COMMITED[v] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V)))
      ∧ (¬(CONSIDERING[v] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V)))
      ∧ (∀[v':V]
           ((¬(CONSIDERING[v] = COMMITED[v'] ∈ consensus-state3(V)))
           ∧ (¬(CONSIDERING[v] = CONSIDERING[v'] ∈ consensus-state3(V)))
             ∧ (¬(COMMITED[v] = COMMITED[v'] ∈ consensus-state3(V))) 
             supposing ¬(v = v' ∈ V))))
17. ¬(COMMITED[v] = INITIAL ∈ consensus-state3(V))
18. ¬(CONSIDERING[v] = INITIAL ∈ consensus-state3(V))
19. ¬(COMMITED[v] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V))
20. ¬(CONSIDERING[v] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V))
21. ∀[v':V]
      ((¬(CONSIDERING[v] = COMMITED[v'] ∈ consensus-state3(V)))
      ∧ (¬(CONSIDERING[v] = CONSIDERING[v'] ∈ consensus-state3(V)))
        ∧ (¬(COMMITED[v] = COMMITED[v'] ∈ consensus-state3(V))) 
        supposing ¬(v = v' ∈ V))
⊢ ∃x:consensus-state3(V)
   ((x = INITIAL ∈ consensus-state3(V)
    ⇐⇒ ∃v,v':V. ((¬(v = v' ∈ V)) ∧ in state s, inning i could commit v  ∧ in state s, inning i could commit v' ))
   ∧ (x = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V) ⇐⇒ ¬(∃v:V. in state s, inning i could commit v ))
   ∧ (∀v:V
        ((x = COMMITED[v] ∈ consensus-state3(V) ⇐⇒ in state s, inning i has committed v)
        ∧ (x = CONSIDERING[v] ∈ consensus-state3(V)
          ⇐⇒ in state s, inning i could commit v 
              ∧ (¬in state s, inning i has committed v)
              ∧ (∀v':V. (in state s, inning i could commit v'  ⇒ (v' = v ∈ V)))))))

---

Latex:



1.  [V]  :  Type
2.  \mexists{}v,v':V.  (\mneg{}(v  =  v'))@i
3.  \mforall{}v,v':V.    Dec(v  =  v')@i
4.  A  :  Id  List@i
5.  W  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List  List@i
6.  two-intersection(A;W)@i
7.  one-intersection(A;W)
8.  s  :  ConsensusState@i
9.  i  :  \mBbbZ{}@i
10.  Dec(\mexists{}v,v':V
                  ((\mneg{}(v  =  v'))
                  \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v 
                  \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v'  ))
11.  \mforall{}v:V.  Dec(in  state  s,  inning  i  has  committed  v)
12.  v  :  V
13.  in  state  s,  inning  i  could  commit  v 
14.  in  state  s,  inning  i  has  committed  v
\mvdash{}  \mexists{}x:consensus-state3(V)
      ((x  =  INITIAL
        \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}v,v':V
                  ((\mneg{}(v  =  v'))
                  \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v 
                  \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v'  ))
      \mwedge{}  (x  =  WITHDRAWN  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mneg{}(\mexists{}v:V.  in  state  s,  inning  i  could  commit  v  ))
      \mwedge{}  (\mforall{}v:V
                ((x  =  COMMITED[v]  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  in  state  s,  inning  i  has  committed  v)
                \mwedge{}  (x  =  CONSIDERING[v]
                    \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v 
                            \mwedge{}  (\mneg{}in  state  s,  inning  i  has  committed  v)
                            \mwedge{}  (\mforall{}v':V.  (in  state  s,  inning  i  could  commit  v'    {}\mRightarrow{}  (v'  =  v)))))))


By

((InstLemma  `consensus-state3-unequal`  [\mkleeneopen{}V\mkleeneclose{}]\mcdot{}  THENA  Auto)
  THEN  D  -1
  THEN  InstHyp  [\mkleeneopen{}v\mkleeneclose{}]  (-1)\mcdot{}
  THEN  Auto)

---

Home Index