---

Step * 1 1 2 1 1 3 of Lemma consensus-ts4-ref-map1


1. V : Type
2. ∃v,v':V. (¬(v = v' ∈ V))@i
3. ∀v,v':V.  Dec(v = v' ∈ V)@i
4. A : Id List@i
5. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
6. two-intersection(A;W)@i
7. one-intersection(A;W)
8. s : ConsensusState@i
9. i : ℤ@i
10. ∃v,v':V. ((¬(v = v' ∈ V)) ∧ in state s, inning i could commit v  ∧ in state s, inning i could commit v' )
11. ∀v:V. Dec(in state s, inning i has committed v)
12. v : V
13. in state s, inning i could commit v 
14. ¬in state s, inning i has committed v
15. ¬(INITIAL = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V))
16. ∀[v:V]
      (((¬(COMMITED[v] = INITIAL ∈ consensus-state3(V))) ∧ (¬(CONSIDERING[v] = INITIAL ∈ consensus-state3(V))))
      ∧ (¬(COMMITED[v] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V)))
      ∧ (¬(CONSIDERING[v] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V)))
      ∧ (∀[v':V]
           ((¬(CONSIDERING[v] = COMMITED[v'] ∈ consensus-state3(V)))
           ∧ (¬(CONSIDERING[v] = CONSIDERING[v'] ∈ consensus-state3(V)))
             ∧ (¬(COMMITED[v] = COMMITED[v'] ∈ consensus-state3(V))) 
             supposing ¬(v = v' ∈ V))))
17. (INITIAL = INITIAL ∈ consensus-state3(V))
⇒ (∃v,v':V. ((¬(v = v' ∈ V)) ∧ in state s, inning i could commit v  ∧ in state s, inning i could commit v' ))
18. (INITIAL = INITIAL ∈ consensus-state3(V)) ⇐ ∃v,v':V
                                                  ((¬(v = v' ∈ V))
                                                  ∧ in state s, inning i could commit v 
                                                  ∧ in state s, inning i could commit v' )
19. (INITIAL = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V)) ⇒ (¬(∃v:V. in state s, inning i could commit v ))
20. (INITIAL = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V)) ⇐ ¬(∃v:V. in state s, inning i could commit v )
21. v1 : V@i
22. (INITIAL = COMMITED[v1] ∈ consensus-state3(V)) ⇒ in state s, inning i has committed v1
23. (INITIAL = COMMITED[v1] ∈ consensus-state3(V)) ⇐ in state s, inning i has committed v1
24. in state s, inning i could commit v1 @i
25. ¬in state s, inning i has committed v1@i
26. ∀v':V. (in state s, inning i could commit v'  ⇒ (v' = v1 ∈ V))@i
⊢ INITIAL = CONSIDERING[v1] ∈ consensus-state3(V)
BY
{ ExRepD }

1
1. V : Type
2. v3 : V@i
3. v4 : V@i
4. ¬(v3 = v4 ∈ V)@i
5. ∀v,v':V.  Dec(v = v' ∈ V)@i
6. A : Id List@i
7. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
8. two-intersection(A;W)@i
9. one-intersection(A;W)
10. s : ConsensusState@i
11. i : ℤ@i
12. v2 : V
13. v' : V
14. ¬(v2 = v' ∈ V)
15. in state s, inning i could commit v2 
16. in state s, inning i could commit v' 
17. ∀v:V. Dec(in state s, inning i has committed v)
18. v : V
19. in state s, inning i could commit v 
20. ¬in state s, inning i has committed v
21. ¬(INITIAL = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V))
22. ∀[v:V]
      (((¬(COMMITED[v] = INITIAL ∈ consensus-state3(V))) ∧ (¬(CONSIDERING[v] = INITIAL ∈ consensus-state3(V))))
      ∧ (¬(COMMITED[v] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V)))
      ∧ (¬(CONSIDERING[v] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V)))
      ∧ (∀[v':V]
           ((¬(CONSIDERING[v] = COMMITED[v'] ∈ consensus-state3(V)))
           ∧ (¬(CONSIDERING[v] = CONSIDERING[v'] ∈ consensus-state3(V)))
             ∧ (¬(COMMITED[v] = COMMITED[v'] ∈ consensus-state3(V))) 
             supposing ¬(v = v' ∈ V))))
23. (INITIAL = INITIAL ∈ consensus-state3(V))
⇒ (∃v,v':V. ((¬(v = v' ∈ V)) ∧ in state s, inning i could commit v  ∧ in state s, inning i could commit v' ))
24. (INITIAL = INITIAL ∈ consensus-state3(V)) ⇐ ∃v,v':V
                                                  ((¬(v = v' ∈ V))
                                                  ∧ in state s, inning i could commit v 
                                                  ∧ in state s, inning i could commit v' )
25. (INITIAL = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V)) ⇒ (¬(∃v:V. in state s, inning i could commit v ))
26. (INITIAL = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V)) ⇐ ¬(∃v:V. in state s, inning i could commit v )
27. v1 : V@i
28. (INITIAL = COMMITED[v1] ∈ consensus-state3(V)) ⇒ in state s, inning i has committed v1
29. (INITIAL = COMMITED[v1] ∈ consensus-state3(V)) ⇐ in state s, inning i has committed v1
30. in state s, inning i could commit v1 @i
31. ¬in state s, inning i has committed v1@i
32. ∀v':V. (in state s, inning i could commit v'  ⇒ (v' = v1 ∈ V))@i
⊢ INITIAL = CONSIDERING[v1] ∈ consensus-state3(V)

---

Latex:



1.  V  :  Type
2.  \mexists{}v,v':V.  (\mneg{}(v  =  v'))@i
3.  \mforall{}v,v':V.    Dec(v  =  v')@i
4.  A  :  Id  List@i
5.  W  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List  List@i
6.  two-intersection(A;W)@i
7.  one-intersection(A;W)
8.  s  :  ConsensusState@i
9.  i  :  \mBbbZ{}@i
10.  \mexists{}v,v':V
          ((\mneg{}(v  =  v'))  \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v    \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v'  )
11.  \mforall{}v:V.  Dec(in  state  s,  inning  i  has  committed  v)
12.  v  :  V
13.  in  state  s,  inning  i  could  commit  v 
14.  \mneg{}in  state  s,  inning  i  has  committed  v
15.  \mneg{}(INITIAL  =  WITHDRAWN)
16.  \mforall{}[v:V]
            (((\mneg{}(COMMITED[v]  =  INITIAL))  \mwedge{}  (\mneg{}(CONSIDERING[v]  =  INITIAL)))
            \mwedge{}  (\mneg{}(COMMITED[v]  =  WITHDRAWN))
            \mwedge{}  (\mneg{}(CONSIDERING[v]  =  WITHDRAWN))
            \mwedge{}  (\mforall{}[v':V]
                      ((\mneg{}(CONSIDERING[v]  =  COMMITED[v']))
                      \mwedge{}  (\mneg{}(CONSIDERING[v]  =  CONSIDERING[v']))  \mwedge{}  (\mneg{}(COMMITED[v]  =  COMMITED[v'])) 
                          supposing  \mneg{}(v  =  v'))))
17.  (INITIAL  =  INITIAL)
{}\mRightarrow{}  (\mexists{}v,v':V
          ((\mneg{}(v  =  v'))  \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v    \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v'  ))
18.  (INITIAL  =  INITIAL)  \mLeftarrow{}{}  \mexists{}v,v':V
                                                        ((\mneg{}(v  =  v'))
                                                        \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v 
                                                        \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v'  )
19.  (INITIAL  =  WITHDRAWN)  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}(\mexists{}v:V.  in  state  s,  inning  i  could  commit  v  ))
20.  (INITIAL  =  WITHDRAWN)  \mLeftarrow{}{}  \mneg{}(\mexists{}v:V.  in  state  s,  inning  i  could  commit  v  )
21.  v1  :  V@i
22.  (INITIAL  =  COMMITED[v1])  {}\mRightarrow{}  in  state  s,  inning  i  has  committed  v1
23.  (INITIAL  =  COMMITED[v1])  \mLeftarrow{}{}  in  state  s,  inning  i  has  committed  v1
24.  in  state  s,  inning  i  could  commit  v1  @i
25.  \mneg{}in  state  s,  inning  i  has  committed  v1@i
26.  \mforall{}v':V.  (in  state  s,  inning  i  could  commit  v'    {}\mRightarrow{}  (v'  =  v1))@i
\mvdash{}  INITIAL  =  CONSIDERING[v1]


By

ExRepD

---

Home Index