---

Step * 1 1 2 2 1 1 of Lemma consensus-ts4-ref-map1


1. V : Type
2. ∃v,v':V. (¬(v = v' ∈ V))@i
3. ∀v,v':V.  Dec(v = v' ∈ V)@i
4. A : Id List@i
5. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
6. two-intersection(A;W)@i
7. one-intersection(A;W)
8. s : ConsensusState@i
9. i : ℤ@i
10. ¬(∃v,v':V. ((¬(v = v' ∈ V)) ∧ in state s, inning i could commit v  ∧ in state s, inning i could commit v' ))
11. ∀v:V. Dec(in state s, inning i has committed v)
12. v : V
13. in state s, inning i could commit v 
14. ¬in state s, inning i has committed v
15. ¬(INITIAL = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V))
16. ∀[v:V]
      (((¬(COMMITED[v] = INITIAL ∈ consensus-state3(V))) ∧ (¬(CONSIDERING[v] = INITIAL ∈ consensus-state3(V))))
      ∧ (¬(COMMITED[v] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V)))
      ∧ (¬(CONSIDERING[v] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V)))
      ∧ (∀[v':V]
           ((¬(CONSIDERING[v] = COMMITED[v'] ∈ consensus-state3(V)))
           ∧ (¬(CONSIDERING[v] = CONSIDERING[v'] ∈ consensus-state3(V)))
             ∧ (¬(COMMITED[v] = COMMITED[v'] ∈ consensus-state3(V))) 
             supposing ¬(v = v' ∈ V))))
17. ¬(COMMITED[v] = INITIAL ∈ consensus-state3(V))
18. ¬(CONSIDERING[v] = INITIAL ∈ consensus-state3(V))
19. ¬(COMMITED[v] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V))
20. ¬(CONSIDERING[v] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V))
21. ∀[v':V]
      ((¬(CONSIDERING[v] = COMMITED[v'] ∈ consensus-state3(V)))
      ∧ (¬(CONSIDERING[v] = CONSIDERING[v'] ∈ consensus-state3(V)))
        ∧ (¬(COMMITED[v] = COMMITED[v'] ∈ consensus-state3(V))) 
        supposing ¬(v = v' ∈ V))
22. (CONSIDERING[v] = INITIAL ∈ consensus-state3(V))
⇒ (∃v,v':V. ((¬(v = v' ∈ V)) ∧ in state s, inning i could commit v  ∧ in state s, inning i could commit v' ))
23. (CONSIDERING[v] = INITIAL ∈ consensus-state3(V)) ⇐ ∃v,v':V
                                                         ((¬(v = v' ∈ V))
                                                         ∧ in state s, inning i could commit v 
                                                         ∧ in state s, inning i could commit v' )
24. ¬(∃v:V. in state s, inning i could commit v )@i
⊢ CONSIDERING[v] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V)
BY
{ (D -1 THEN Auto) }

---

Latex:



1.  V  :  Type
2.  \mexists{}v,v':V.  (\mneg{}(v  =  v'))@i
3.  \mforall{}v,v':V.    Dec(v  =  v')@i
4.  A  :  Id  List@i
5.  W  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List  List@i
6.  two-intersection(A;W)@i
7.  one-intersection(A;W)
8.  s  :  ConsensusState@i
9.  i  :  \mBbbZ{}@i
10.  \mneg{}(\mexists{}v,v':V
              ((\mneg{}(v  =  v'))  \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v    \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v'  ))
11.  \mforall{}v:V.  Dec(in  state  s,  inning  i  has  committed  v)
12.  v  :  V
13.  in  state  s,  inning  i  could  commit  v 
14.  \mneg{}in  state  s,  inning  i  has  committed  v
15.  \mneg{}(INITIAL  =  WITHDRAWN)
16.  \mforall{}[v:V]
            (((\mneg{}(COMMITED[v]  =  INITIAL))  \mwedge{}  (\mneg{}(CONSIDERING[v]  =  INITIAL)))
            \mwedge{}  (\mneg{}(COMMITED[v]  =  WITHDRAWN))
            \mwedge{}  (\mneg{}(CONSIDERING[v]  =  WITHDRAWN))
            \mwedge{}  (\mforall{}[v':V]
                      ((\mneg{}(CONSIDERING[v]  =  COMMITED[v']))
                      \mwedge{}  (\mneg{}(CONSIDERING[v]  =  CONSIDERING[v']))  \mwedge{}  (\mneg{}(COMMITED[v]  =  COMMITED[v'])) 
                          supposing  \mneg{}(v  =  v'))))
17.  \mneg{}(COMMITED[v]  =  INITIAL)
18.  \mneg{}(CONSIDERING[v]  =  INITIAL)
19.  \mneg{}(COMMITED[v]  =  WITHDRAWN)
20.  \mneg{}(CONSIDERING[v]  =  WITHDRAWN)
21.  \mforall{}[v':V]
            ((\mneg{}(CONSIDERING[v]  =  COMMITED[v']))
            \mwedge{}  (\mneg{}(CONSIDERING[v]  =  CONSIDERING[v']))  \mwedge{}  (\mneg{}(COMMITED[v]  =  COMMITED[v']))  supposing  \mneg{}(v  =  v'))
22.  (CONSIDERING[v]  =  INITIAL)
{}\mRightarrow{}  (\mexists{}v,v':V
          ((\mneg{}(v  =  v'))  \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v    \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v'  ))
23.  (CONSIDERING[v]  =  INITIAL)  \mLeftarrow{}{}  \mexists{}v,v':V
                                                                      ((\mneg{}(v  =  v'))
                                                                      \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v 
                                                                      \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v'  )
24.  \mneg{}(\mexists{}v:V.  in  state  s,  inning  i  could  commit  v  )@i
\mvdash{}  CONSIDERING[v]  =  WITHDRAWN


By

(D  -1  THEN  Auto)

---

Home Index