---

Step * 1 of Lemma consensus-ts4-ref-map


1. [V] : Type
2. ∃v,v':V. (¬(v = v' ∈ V))@i
3. ∀v,v':V.  Dec(v = v' ∈ V)@i
4. A : Id List@i
5. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
6. two-intersection(A;W)@i
7. F : s:ConsensusState ─→ i:ℤ ─→ consensus-state3(V)
8. ∀s:ConsensusState. ∀i:ℤ.
     (((F s i) = INITIAL ∈ consensus-state3(V)
      ⇐⇒ ∃v,v':V. ((¬(v = v' ∈ V)) ∧ in state s, inning i could commit v  ∧ in state s, inning i could commit v' ))
     ∧ ((F s i) = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V) ⇐⇒ ¬(∃v:V. in state s, inning i could commit v ))
     ∧ (∀v:V
          (((F s i) = COMMITED[v] ∈ consensus-state3(V) ⇐⇒ in state s, inning i has committed v)
          ∧ ((F s i) = CONSIDERING[v] ∈ consensus-state3(V)
            ⇐⇒ in state s, inning i could commit v 
                ∧ (¬in state s, inning i has committed v)
                ∧ (∀v':V. (in state s, inning i could commit v'  ⇒ (v' = v ∈ V)))))))
⊢ ∃f:ConsensusState ─→ (consensus-state3(V) List)
   ∀s:ConsensusState. ∀i:ℕ.
     ((i < ||f s|| ⇐⇒ ∃a:{a:Id| (a ∈ A)} . (i ≤ Inning(s;a)))
     ∧ (i < ||f s||
       ⇒ ((f s[i] = INITIAL ∈ consensus-state3(V)
           ⇐⇒ ∃v,v':V
                ((¬(v = v' ∈ V)) ∧ in state s, inning i could commit v  ∧ in state s, inning i could commit v' ))
          ∧ (f s[i] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V) ⇐⇒ ¬(∃v:V. in state s, inning i could commit v ))
          ∧ (∀v:V
               ((f s[i] = COMMITED[v] ∈ consensus-state3(V) ⇐⇒ in state s, inning i has committed v)
               ∧ (f s[i] = CONSIDERING[v] ∈ consensus-state3(V)
                 ⇐⇒ in state s, inning i could commit v 
                     ∧ (¬in state s, inning i has committed v)
                     ∧ (∀v':V. (in state s, inning i could commit v'  ⇒ (v' = v ∈ V)))))))))
BY
{ Assert ⌈∀s:ConsensusState. ∃n:ℕ. ∀i:ℕ. (i < n ⇐⇒ ∃a:{a:Id| (a ∈ A)} . (i ≤ Inning(s;a)))⌉⋅ }

1
.....assertion..... 
1. [V] : Type
2. ∃v,v':V. (¬(v = v' ∈ V))@i
3. ∀v,v':V.  Dec(v = v' ∈ V)@i
4. A : Id List@i
5. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
6. two-intersection(A;W)@i
7. F : s:ConsensusState ─→ i:ℤ ─→ consensus-state3(V)
8. ∀s:ConsensusState. ∀i:ℤ.
     (((F s i) = INITIAL ∈ consensus-state3(V)
      ⇐⇒ ∃v,v':V. ((¬(v = v' ∈ V)) ∧ in state s, inning i could commit v  ∧ in state s, inning i could commit v' ))
     ∧ ((F s i) = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V) ⇐⇒ ¬(∃v:V. in state s, inning i could commit v ))
     ∧ (∀v:V
          (((F s i) = COMMITED[v] ∈ consensus-state3(V) ⇐⇒ in state s, inning i has committed v)
          ∧ ((F s i) = CONSIDERING[v] ∈ consensus-state3(V)
            ⇐⇒ in state s, inning i could commit v 
                ∧ (¬in state s, inning i has committed v)
                ∧ (∀v':V. (in state s, inning i could commit v'  ⇒ (v' = v ∈ V)))))))
⊢ ∀s:ConsensusState. ∃n:ℕ. ∀i:ℕ. (i < n ⇐⇒ ∃a:{a:Id| (a ∈ A)} . (i ≤ Inning(s;a)))

2
1. [V] : Type
2. ∃v,v':V. (¬(v = v' ∈ V))@i
3. ∀v,v':V.  Dec(v = v' ∈ V)@i
4. A : Id List@i
5. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
6. two-intersection(A;W)@i
7. F : s:ConsensusState ─→ i:ℤ ─→ consensus-state3(V)
8. ∀s:ConsensusState. ∀i:ℤ.
     (((F s i) = INITIAL ∈ consensus-state3(V)
      ⇐⇒ ∃v,v':V. ((¬(v = v' ∈ V)) ∧ in state s, inning i could commit v  ∧ in state s, inning i could commit v' ))
     ∧ ((F s i) = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V) ⇐⇒ ¬(∃v:V. in state s, inning i could commit v ))
     ∧ (∀v:V
          (((F s i) = COMMITED[v] ∈ consensus-state3(V) ⇐⇒ in state s, inning i has committed v)
          ∧ ((F s i) = CONSIDERING[v] ∈ consensus-state3(V)
            ⇐⇒ in state s, inning i could commit v 
                ∧ (¬in state s, inning i has committed v)
                ∧ (∀v':V. (in state s, inning i could commit v'  ⇒ (v' = v ∈ V)))))))
9. ∀s:ConsensusState. ∃n:ℕ. ∀i:ℕ. (i < n ⇐⇒ ∃a:{a:Id| (a ∈ A)} . (i ≤ Inning(s;a)))
⊢ ∃f:ConsensusState ─→ (consensus-state3(V) List)
   ∀s:ConsensusState. ∀i:ℕ.
     ((i < ||f s|| ⇐⇒ ∃a:{a:Id| (a ∈ A)} . (i ≤ Inning(s;a)))
     ∧ (i < ||f s||
       ⇒ ((f s[i] = INITIAL ∈ consensus-state3(V)
           ⇐⇒ ∃v,v':V
                ((¬(v = v' ∈ V)) ∧ in state s, inning i could commit v  ∧ in state s, inning i could commit v' ))
          ∧ (f s[i] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V) ⇐⇒ ¬(∃v:V. in state s, inning i could commit v ))
          ∧ (∀v:V
               ((f s[i] = COMMITED[v] ∈ consensus-state3(V) ⇐⇒ in state s, inning i has committed v)
               ∧ (f s[i] = CONSIDERING[v] ∈ consensus-state3(V)
                 ⇐⇒ in state s, inning i could commit v 
                     ∧ (¬in state s, inning i has committed v)
                     ∧ (∀v':V. (in state s, inning i could commit v'  ⇒ (v' = v ∈ V)))))))))

---

Latex:



1.  [V]  :  Type
2.  \mexists{}v,v':V.  (\mneg{}(v  =  v'))@i
3.  \mforall{}v,v':V.    Dec(v  =  v')@i
4.  A  :  Id  List@i
5.  W  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List  List@i
6.  two-intersection(A;W)@i
7.  F  :  s:ConsensusState  {}\mrightarrow{}  i:\mBbbZ{}  {}\mrightarrow{}  consensus-state3(V)
8.  \mforall{}s:ConsensusState.  \mforall{}i:\mBbbZ{}.
          (((F  s  i)  =  INITIAL
            \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}v,v':V
                      ((\mneg{}(v  =  v'))
                      \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v 
                      \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v'  ))
          \mwedge{}  ((F  s  i)  =  WITHDRAWN  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mneg{}(\mexists{}v:V.  in  state  s,  inning  i  could  commit  v  ))
          \mwedge{}  (\mforall{}v:V
                    (((F  s  i)  =  COMMITED[v]  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  in  state  s,  inning  i  has  committed  v)
                    \mwedge{}  ((F  s  i)  =  CONSIDERING[v]
                        \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v 
                                \mwedge{}  (\mneg{}in  state  s,  inning  i  has  committed  v)
                                \mwedge{}  (\mforall{}v':V.  (in  state  s,  inning  i  could  commit  v'    {}\mRightarrow{}  (v'  =  v)))))))
\mvdash{}  \mexists{}f:ConsensusState  {}\mrightarrow{}  (consensus-state3(V)  List)
      \mforall{}s:ConsensusState.  \mforall{}i:\mBbbN{}.
          ((i  <  ||f  s||  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}a:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  .  (i  \mleq{}  Inning(s;a)))
          \mwedge{}  (i  <  ||f  s||
              {}\mRightarrow{}  ((f  s[i]  =  INITIAL
                      \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}v,v':V
                                ((\mneg{}(v  =  v'))
                                \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v 
                                \mwedge{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v'  ))
                    \mwedge{}  (f  s[i]  =  WITHDRAWN  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mneg{}(\mexists{}v:V.  in  state  s,  inning  i  could  commit  v  ))
                    \mwedge{}  (\mforall{}v:V
                              ((f  s[i]  =  COMMITED[v]  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  in  state  s,  inning  i  has  committed  v)
                              \mwedge{}  (f  s[i]  =  CONSIDERING[v]
                                  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  in  state  s,  inning  i  could  commit  v 
                                          \mwedge{}  (\mneg{}in  state  s,  inning  i  has  committed  v)
                                          \mwedge{}  (\mforall{}v':V.  (in  state  s,  inning  i  could  commit  v'    {}\mRightarrow{}  (v'  =  v)))))))))


By

Assert  \mkleeneopen{}\mforall{}s:ConsensusState.  \mexists{}n:\mBbbN{}.  \mforall{}i:\mBbbN{}.  (i  <  n  \mLeftarrow{}{}\mRightarrow{}  \mexists{}a:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  .  (i  \mleq{}  Inning(s;a)))\mkleeneclose{}\mcdot{}

---

Home Index