---

Step * 3 1 3 of Lemma consensus-ts5-archive-invariant


1. [V] : Type
2. ∀v1,v2:V.  Dec(v1 = v2 ∈ V)@i
3. v1 : V@i
4. v' : V@i
5. ¬(v1 = v' ∈ V)@i
6. A : Id List@i
7. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
8. x1 : ConsensusState@i
9. x2 : Knowledge(ConsensusState)@i
10. \\%3 : ts-init(consensus-ts5(V;A;W)) (ts-rel(consensus-ts5(V;A;W))^*) <x1, x2>@i
11. y1 : ConsensusState@i
12. y2 : Knowledge(ConsensusState)@i
13. \\%5 : ts-init(consensus-ts5(V;A;W)) (ts-rel(consensus-ts5(V;A;W))^*) <y1, y2>@i
14. ∀v:V. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} . ∀i:ℤ.
      (state x1 may consider v in inning i) supposing ((Estimate(x1;b)(i) = v ∈ V) and (↑i ∈ dom(Estimate(x1;b))))@i
15. a : {a:Id| (a ∈ A)} @i
16. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} 
      ((¬(b = a ∈ Id))
      ⇒ ((Inning(y1;b) = Inning(x1;b) ∈ ℤ)
         ∧ (Estimate(y1;b) = Estimate(x1;b) ∈ i:ℤ fp-> V)
         ∧ (Knowledge(y2;b) = Knowledge(x2;b) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top))))@i
17. Inning(y1;a) = Inning(x1;a) ∈ ℤ@i
18. Estimate(y1;a) = Estimate(x1;a) ∈ i:ℤ fp-> V@i
19. b1 : {a:Id| (a ∈ A)} @i
20. i1 : ℤ@i
21. i1 ≤ Inning(x1;b1)@i
22. ((∀j:ℤ. (j < i1 ⇒ (¬↑j ∈ dom(Estimate(x1;b1)))))
∧ (Knowledge(y2;a) = b1 : <i1, inr ⋅ > ⊕ Knowledge(x2;a) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top)))
∨ (∃j:ℤ
    (j < i1
    ∧ (↑j ∈ dom(Estimate(x1;b1)))
    ∧ (∀k:ℤ. (j < k ⇒ k < i1 ⇒ (¬↑k ∈ dom(Estimate(x1;b1)))))
    ∧ (Knowledge(y2;a) = b1 : <i1, inl <j, Estimate(x1;b1)(j)>> ⊕ Knowledge(x2;a) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top))))@i
23. v : V@i
24. b : {a:Id| (a ∈ A)} @i
25. i : ℤ@i
26. ↑i ∈ dom(Estimate(y1;b))
27. Estimate(y1;b)(i) = v ∈ V
⊢ state y1 may consider v in inning i
BY
{ OnMaybeHyp 14 (\h. ((InstHyp [⌈v⌉;⌈b⌉;⌈i⌉] h⋅
                       THENA Complete ((Auto
                                        THEN Decide b = a ∈ Id
                                        THEN Auto
                                        THEN (Assert Estimate(y1;b) = Estimate(x1;b) ∈ i:ℤ fp-> V BY
                                                    Auto)
                                        THEN Auto))
                       )
                      THEN RepeatFor 6 (ParallelLast)
                      )) }

1
1. [V] : Type
2. ∀v1,v2:V.  Dec(v1 = v2 ∈ V)@i
3. v1 : V@i
4. v' : V@i
5. ¬(v1 = v' ∈ V)@i
6. A : Id List@i
7. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
8. x1 : ConsensusState@i
9. x2 : Knowledge(ConsensusState)@i
10. \\%3 : ts-init(consensus-ts5(V;A;W)) (ts-rel(consensus-ts5(V;A;W))^*) <x1, x2>@i
11. y1 : ConsensusState@i
12. y2 : Knowledge(ConsensusState)@i
13. \\%5 : ts-init(consensus-ts5(V;A;W)) (ts-rel(consensus-ts5(V;A;W))^*) <y1, y2>@i
14. ∀v:V. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} . ∀i:ℤ.
      (state x1 may consider v in inning i) supposing ((Estimate(x1;b)(i) = v ∈ V) and (↑i ∈ dom(Estimate(x1;b))))@i
15. a : {a:Id| (a ∈ A)} @i
16. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} 
      ((¬(b = a ∈ Id))
      ⇒ ((Inning(y1;b) = Inning(x1;b) ∈ ℤ)
         ∧ (Estimate(y1;b) = Estimate(x1;b) ∈ i:ℤ fp-> V)
         ∧ (Knowledge(y2;b) = Knowledge(x2;b) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top))))@i
17. Inning(y1;a) = Inning(x1;a) ∈ ℤ@i
18. Estimate(y1;a) = Estimate(x1;a) ∈ i:ℤ fp-> V@i
19. b1 : {a:Id| (a ∈ A)} @i
20. i1 : ℤ@i
21. i1 ≤ Inning(x1;b1)@i
22. ((∀j:ℤ. (j < i1 ⇒ (¬↑j ∈ dom(Estimate(x1;b1)))))
∧ (Knowledge(y2;a) = b1 : <i1, inr ⋅ > ⊕ Knowledge(x2;a) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top)))
∨ (∃j:ℤ
    (j < i1
    ∧ (↑j ∈ dom(Estimate(x1;b1)))
    ∧ (∀k:ℤ. (j < k ⇒ k < i1 ⇒ (¬↑k ∈ dom(Estimate(x1;b1)))))
    ∧ (Knowledge(y2;a) = b1 : <i1, inl <j, Estimate(x1;b1)(j)>> ⊕ Knowledge(x2;a) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top))))@i
23. v : V@i
24. b : {a:Id| (a ∈ A)} @i
25. i : ℤ@i
26. ↑i ∈ dom(Estimate(y1;b))
27. Estimate(y1;b)(i) = v ∈ V
28. ws : {a:Id| (a ∈ A)}  List
29. (ws ∈ W)
30. ∀ws':{a:Id| (a ∈ A)}  List. ((ws' ∈ W) ⇒ (¬in state x1, ws' blocks ws from archiving v in inning i))
31. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} . ((b ∈ ws) ⇒ (i ≤ Inning(x1;b)))
32. b2 : {a:Id| (a ∈ A)} @i
33. (b2 ∈ ws)@i
34. i ≤ Inning(x1;b2)
⊢ i ≤ Inning(y1;b2)

2
1. [V] : Type
2. ∀v1,v2:V.  Dec(v1 = v2 ∈ V)@i
3. v1 : V@i
4. v' : V@i
5. ¬(v1 = v' ∈ V)@i
6. A : Id List@i
7. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
8. x1 : ConsensusState@i
9. x2 : Knowledge(ConsensusState)@i
10. \\%3 : ts-init(consensus-ts5(V;A;W)) (ts-rel(consensus-ts5(V;A;W))^*) <x1, x2>@i
11. y1 : ConsensusState@i
12. y2 : Knowledge(ConsensusState)@i
13. \\%5 : ts-init(consensus-ts5(V;A;W)) (ts-rel(consensus-ts5(V;A;W))^*) <y1, y2>@i
14. ∀v:V. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} . ∀i:ℤ.
      (state x1 may consider v in inning i) supposing ((Estimate(x1;b)(i) = v ∈ V) and (↑i ∈ dom(Estimate(x1;b))))@i
15. a : {a:Id| (a ∈ A)} @i
16. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} 
      ((¬(b = a ∈ Id))
      ⇒ ((Inning(y1;b) = Inning(x1;b) ∈ ℤ)
         ∧ (Estimate(y1;b) = Estimate(x1;b) ∈ i:ℤ fp-> V)
         ∧ (Knowledge(y2;b) = Knowledge(x2;b) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top))))@i
17. Inning(y1;a) = Inning(x1;a) ∈ ℤ@i
18. Estimate(y1;a) = Estimate(x1;a) ∈ i:ℤ fp-> V@i
19. b1 : {a:Id| (a ∈ A)} @i
20. i1 : ℤ@i
21. i1 ≤ Inning(x1;b1)@i
22. ((∀j:ℤ. (j < i1 ⇒ (¬↑j ∈ dom(Estimate(x1;b1)))))
∧ (Knowledge(y2;a) = b1 : <i1, inr ⋅ > ⊕ Knowledge(x2;a) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top)))
∨ (∃j:ℤ
    (j < i1
    ∧ (↑j ∈ dom(Estimate(x1;b1)))
    ∧ (∀k:ℤ. (j < k ⇒ k < i1 ⇒ (¬↑k ∈ dom(Estimate(x1;b1)))))
    ∧ (Knowledge(y2;a) = b1 : <i1, inl <j, Estimate(x1;b1)(j)>> ⊕ Knowledge(x2;a) ∈ b:Id fp-> ℤ × (ℤ × V + Top))))@i
23. v : V@i
24. b : {a:Id| (a ∈ A)} @i
25. i : ℤ@i
26. ↑i ∈ dom(Estimate(y1;b))
27. Estimate(y1;b)(i) = v ∈ V
28. ws : {a:Id| (a ∈ A)}  List
29. (ws ∈ W)
30. ∀b:{a:Id| (a ∈ A)} . ((b ∈ ws) ⇒ (i ≤ Inning(x1;b)))
31. ∀ws':{a:Id| (a ∈ A)}  List. ((ws' ∈ W) ⇒ (¬in state x1, ws' blocks ws from archiving v in inning i))
32. ws' : {a:Id| (a ∈ A)}  List@i
33. (ws' ∈ W)@i
34. ¬in state x1, ws' blocks ws from archiving v in inning i
⊢ ¬in state y1, ws' blocks ws from archiving v in inning i

---

Latex:



1.  [V]  :  Type
2.  \mforall{}v1,v2:V.    Dec(v1  =  v2)@i
3.  v1  :  V@i
4.  v'  :  V@i
5.  \mneg{}(v1  =  v')@i
6.  A  :  Id  List@i
7.  W  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List  List@i
8.  x1  :  ConsensusState@i
9.  x2  :  Knowledge(ConsensusState)@i
10.  \mbackslash{}\mbackslash{}\%3  :  ts-init(consensus-ts5(V;A;W)) 
                      (ts-rel(consensus-ts5(V;A;W))\^{}*) 
                      <x1,  x2>@i
11.  y1  :  ConsensusState@i
12.  y2  :  Knowledge(ConsensusState)@i
13.  \mbackslash{}\mbackslash{}\%5  :  ts-init(consensus-ts5(V;A;W)) 
                      (ts-rel(consensus-ts5(V;A;W))\^{}*) 
                      <y1,  y2>@i
14.  \mforall{}v:V.  \mforall{}b:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  .  \mforall{}i:\mBbbZ{}.
            (state  x1  may  consider  v  in  inning  i)  supposing 
                  ((Estimate(x1;b)(i)  =  v)  and 
                  (\muparrow{}i  \mmember{}  dom(Estimate(x1;b))))@i
15.  a  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  @i
16.  \mforall{}b:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\} 
            ((\mneg{}(b  =  a))
            {}\mRightarrow{}  ((Inning(y1;b)  =  Inning(x1;b))
                  \mwedge{}  (Estimate(y1;b)  =  Estimate(x1;b))
                  \mwedge{}  (Knowledge(y2;b)  =  Knowledge(x2;b))))@i
17.  Inning(y1;a)  =  Inning(x1;a)@i
18.  Estimate(y1;a)  =  Estimate(x1;a)@i
19.  b1  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  @i
20.  i1  :  \mBbbZ{}@i
21.  i1  \mleq{}  Inning(x1;b1)@i
22.  ((\mforall{}j:\mBbbZ{}.  (j  <  i1  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}\muparrow{}j  \mmember{}  dom(Estimate(x1;b1)))))
\mwedge{}  (Knowledge(y2;a)  =  b1  :  <i1,  inr  \mcdot{}  >  \moplus{}  Knowledge(x2;a)))
\mvee{}  (\mexists{}j:\mBbbZ{}
        (j  <  i1
        \mwedge{}  (\muparrow{}j  \mmember{}  dom(Estimate(x1;b1)))
        \mwedge{}  (\mforall{}k:\mBbbZ{}.  (j  <  k  {}\mRightarrow{}  k  <  i1  {}\mRightarrow{}  (\mneg{}\muparrow{}k  \mmember{}  dom(Estimate(x1;b1)))))
        \mwedge{}  (Knowledge(y2;a)  =  b1  :  <i1,  inl  <j,  Estimate(x1;b1)(j)>>  \moplus{}  Knowledge(x2;a))))@i
23.  v  :  V@i
24.  b  :  \{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}  @i
25.  i  :  \mBbbZ{}@i
26.  \muparrow{}i  \mmember{}  dom(Estimate(y1;b))
27.  Estimate(y1;b)(i)  =  v
\mvdash{}  state  y1  may  consider  v  in  inning  i


By

OnMaybeHyp  14  (\mbackslash{}h.  ((InstHyp  [\mkleeneopen{}v\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}b\mkleeneclose{};\mkleeneopen{}i\mkleeneclose{}]  h\mcdot{}
                                          THENA  Complete  ((Auto
                                                                            THEN  Decide  b  =  a
                                                                            THEN  Auto
                                                                            THEN  (Assert  Estimate(y1;b)  =  Estimate(x1;b)  BY
                                                                                                    Auto)
                                                                            THEN  Auto))
                                          )
                                        THEN  RepeatFor  6  (ParallelLast)
                                        ))

---

Home Index