---

Step * of Lemma cs-ref-map-changed

∀[V:Type]
  ((∀v1,v2:V.  Dec(v1 = v2 ∈ V))
  ⇒ {∃v,v':V. (¬(v = v' ∈ V))}
  ⇒ (∀A:Id List. ∀W:{a:Id| (a ∈ A)}  List List.
        (two-intersection(A;W)
        ⇒ (∀f:ConsensusState ─→ (consensus-state3(V) List)
              (cs-ref-map-constraints(V;A;W;f)
              ⇒ (∀x,y:ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W)).
                    ((x ts-rel(consensus-ts4(V;A;W)) y)
                    ⇒ (∀i:ℕ
                          (∀v:V
                             ((in state x, inning i could commit v  ∧ (¬in state y, inning i could commit v ))
                             ⇒ ((f y[i] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V))
                                ∨ ((f x[i] = INITIAL ∈ consensus-state3(V))
                                  ∧ ((f y[i] = INITIAL ∈ consensus-state3(V))
                                    ∨ (∃v':V
                                        ((∀j:ℕi. (¬(f x[j] = INITIAL ∈ consensus-state3(V))))
                                        ∧ ((f y[i] = CONSIDERING[v'] ∈ consensus-state3(V))
                                          ∨ (f y[i] = COMMITED[v'] ∈ consensus-state3(V)))
                                        ∧ (∀j:ℕi. ∀v'':V.
                                             (((f x[j] = CONSIDERING[v''] ∈ consensus-state3(V))
                                             ∨ (f x[j] = COMMITED[v''] ∈ consensus-state3(V)))
                                             ⇒ (v'' = v' ∈ V)))))))))) supposing 
                             (i < ||f y|| and 
                             i < ||f x||)))))))))
BY
{ (RepeatFor 10 ((D 0 THENA Auto))
   THEN (Assert (x ∈ ConsensusState) ∧ (y ∈ ConsensusState) BY
               ((DVar `x' THEN DVar `y') THEN All (RepUR ``ts-type consensus-ts4``) THEN Complete (Auto)))
   THEN D -1
   THEN Auto) }

1
1. [V] : Type
2. ∀v1,v2:V.  Dec(v1 = v2 ∈ V)@i
3. {∃v,v':V. (¬(v = v' ∈ V))}@i
4. A : Id List@i
5. W : {a:Id| (a ∈ A)}  List List@i
6. two-intersection(A;W)@i
7. f : ConsensusState ─→ (consensus-state3(V) List)@i
8. cs-ref-map-constraints(V;A;W;f)@i
9. x : ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W))@i
10. y : ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W))@i
11. x ∈ ConsensusState
12. y ∈ ConsensusState
13. x ts-rel(consensus-ts4(V;A;W)) y@i
14. i : ℕ@i
15. i < ||f x||
16. i < ||f y||
17. v : V@i
18. in state x, inning i could commit v @i
19. ¬in state y, inning i could commit v @i
⊢ (f y[i] = WITHDRAWN ∈ consensus-state3(V))
∨ ((f x[i] = INITIAL ∈ consensus-state3(V))
  ∧ ((f y[i] = INITIAL ∈ consensus-state3(V))
    ∨ (∃v':V
        ((∀j:ℕi. (¬(f x[j] = INITIAL ∈ consensus-state3(V))))
        ∧ ((f y[i] = CONSIDERING[v'] ∈ consensus-state3(V)) ∨ (f y[i] = COMMITED[v'] ∈ consensus-state3(V)))
        ∧ (∀j:ℕi. ∀v'':V.
             (((f x[j] = CONSIDERING[v''] ∈ consensus-state3(V)) ∨ (f x[j] = COMMITED[v''] ∈ consensus-state3(V)))
             ⇒ (v'' = v' ∈ V)))))))

---

Latex:


\mforall{}[V:Type]
    ((\mforall{}v1,v2:V.    Dec(v1  =  v2))
    {}\mRightarrow{}  \{\mexists{}v,v':V.  (\mneg{}(v  =  v'))\}
    {}\mRightarrow{}  (\mforall{}A:Id  List.  \mforall{}W:\{a:Id|  (a  \mmember{}  A)\}    List  List.
                (two-intersection(A;W)
                {}\mRightarrow{}  (\mforall{}f:ConsensusState  {}\mrightarrow{}  (consensus-state3(V)  List)
                            (cs-ref-map-constraints(V;A;W;f)
                            {}\mRightarrow{}  (\mforall{}x,y:ts-reachable(consensus-ts4(V;A;W)).
                                        ((x  ts-rel(consensus-ts4(V;A;W))  y)
                                        {}\mRightarrow{}  (\mforall{}i:\mBbbN{}
                                                    (\mforall{}v:V
                                                          ((in  state  x,  inning  i  could  commit  v 
                                                          \mwedge{}  (\mneg{}in  state  y,  inning  i  could  commit  v  ))
                                                          {}\mRightarrow{}  ((f  y[i]  =  WITHDRAWN)
                                                                \mvee{}  ((f  x[i]  =  INITIAL)
                                                                    \mwedge{}  ((f  y[i]  =  INITIAL)
                                                                        \mvee{}  (\mexists{}v':V
                                                                                ((\mforall{}j:\mBbbN{}i.  (\mneg{}(f  x[j]  =  INITIAL)))
                                                                                \mwedge{}  ((f  y[i]  =  CONSIDERING[v'])  \mvee{}  (f  y[i]  =  COMMITED[v']))
                                                                                \mwedge{}  (\mforall{}j:\mBbbN{}i.  \mforall{}v'':V.
                                                                                          (((f  x[j]  =  CONSIDERING[v''])
                                                                                          \mvee{}  (f  x[j]  =  COMMITED[v'']))
                                                                                          {}\mRightarrow{}  (v''  =  v'))))))))))  supposing 
                                                          (i  <  ||f  y||  and 
                                                          i  <  ||f  x||)))))))))


By

(RepeatFor  10  ((D  0  THENA  Auto))
  THEN  (Assert  (x  \mmember{}  ConsensusState)  \mwedge{}  (y  \mmember{}  ConsensusState)  BY
                          ((DVar  `x'  THEN  DVar  `y')
                            THEN  All  (RepUR  ``ts-type  consensus-ts4``)
                            THEN  Complete  (Auto)))
  THEN  D  -1
  THEN  Auto)

---

Home Index