---

Step * 1 1 1 1 2 of Lemma fpf-sub-val2


1. [A] : Type
2. [A'] : Type
3. strong-subtype(A;A')
4. [B] : A ─→ Type
5. eq : EqDecider(A')@i
6. d1 : A List@i
7. f1 : a:{a:A| (a ∈ d1)}  ─→ B[a]@i
8. d : A List@i
9. g1 : a:{a:A| (a ∈ d)}  ─→ B[a]@i
10. x : A'@i
11. [P] : a:A ─→ B[a] ─→ ℙ
12. [Q] : a:A ─→ B[a] ─→ ℙ
13. ∀x:A. ∀z:B[x].  (P[x;z] ⇒ Q[x;z])@i
14. eq ∈ EqDecider(A)
15. ∀x:A. ((↑x ∈ dom(<d, g1>)) ⇒ ((↑x ∈ dom(<d1, f1>)) c∧ (<d, g1>(x) = <d1, f1>(x) ∈ B[x])))
16. ↑x ∈b d)@i
17. (↑x ∈ dom(<d1, f1>)) c∧ (<d, g1>(x) = <d1, f1>(x) ∈ B[x])
⊢ (x ∈ d1)
BY
{ (ExRepD THEN (Unfold `fpf-dom` (-2)) THEN (Reduce (-2))) }

1
1. [A] : Type
2. [A'] : Type
3. strong-subtype(A;A')
4. [B] : A ─→ Type
5. eq : EqDecider(A')@i
6. d1 : A List@i
7. f1 : a:{a:A| (a ∈ d1)}  ─→ B[a]@i
8. d : A List@i
9. g1 : a:{a:A| (a ∈ d)}  ─→ B[a]@i
10. x : A'@i
11. [P] : a:A ─→ B[a] ─→ ℙ
12. [Q] : a:A ─→ B[a] ─→ ℙ
13. ∀x:A. ∀z:B[x].  (P[x;z] ⇒ Q[x;z])@i
14. eq ∈ EqDecider(A)
15. ∀x:A. ((↑x ∈ dom(<d, g1>)) ⇒ ((↑x ∈ dom(<d1, f1>)) c∧ (<d, g1>(x) = <d1, f1>(x) ∈ B[x])))
16. ↑x ∈b d)@i
17. ↑x ∈b d1)
18. <d, g1>(x) = <d1, f1>(x) ∈ B[x]
⊢ (x ∈ d1)

---

Latex:



1.  [A]  :  Type
2.  [A']  :  Type
3.  strong-subtype(A;A')
4.  [B]  :  A  {}\mrightarrow{}  Type
5.  eq  :  EqDecider(A')@i
6.  d1  :  A  List@i
7.  f1  :  a:\{a:A|  (a  \mmember{}  d1)\}    {}\mrightarrow{}  B[a]@i
8.  d  :  A  List@i
9.  g1  :  a:\{a:A|  (a  \mmember{}  d)\}    {}\mrightarrow{}  B[a]@i
10.  x  :  A'@i
11.  [P]  :  a:A  {}\mrightarrow{}  B[a]  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
12.  [Q]  :  a:A  {}\mrightarrow{}  B[a]  {}\mrightarrow{}  \mBbbP{}
13.  \mforall{}x:A.  \mforall{}z:B[x].    (P[x;z]  {}\mRightarrow{}  Q[x;z])@i
14.  eq  \mmember{}  EqDecider(A)
15.  \mforall{}x:A.  ((\muparrow{}x  \mmember{}  dom(<d,  g1>))  {}\mRightarrow{}  ((\muparrow{}x  \mmember{}  dom(<d1,  f1>))  c\mwedge{}  (<d,  g1>(x)  =  <d1,  f1>(x))))
16.  \muparrow{}x  \mmember{}\msubb{}  d)@i
17.  (\muparrow{}x  \mmember{}  dom(<d1,  f1>))  c\mwedge{}  (<d,  g1>(x)  =  <d1,  f1>(x))
\mvdash{}  (x  \mmember{}  d1)


By

(ExRepD  THEN  (Unfold  `fpf-dom`  (-2))  THEN  (Reduce  (-2)))

---

Home Index